這些由非常簡單方程定義的曲線罩在神秘和優(yōu)雅中。事實上，描它們的方程非常單，即使是高中也能理解。然而盡管世界上一些偉大的數(shù)學家做了不懈的努力，有大量關于它們簡單問題尚未解。但這還不是全。正如你很快就看到的，這個理連接了數(shù)學的各重要領域，因為圓曲線不僅僅是面曲線。一個古的問題在數(shù)學中一些幾何問題可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題反之亦然。例如看一下幾千年前一個經(jīng)典問題，整數(shù) n 是否等于某個邊長是有數(shù)的直角三角形面積。在這種情下，n 被稱為同余數(shù)。例如，6 是一個同余數(shù)，為它是邊長為 3，4 和 5 的直角三角形的面。1640 年，費馬證明了 1 不是全等數(shù)。自費馬的證明之后證明某個數(shù)是（不是）同余數(shù)的究就一直在進行令人驚奇的是，們可以用初等方證明對于每一組理數(shù)數(shù)（a，b，c），如果有我們可以找到兩個有數(shù) x 和 y，使得反過來，對每個有理數(shù)對 (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我們可以找到個有理數(shù) a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。也就是說，當 y≠0 時，面積為 n 的直角三角形恰好對方程 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦然。學家會說這兩個合之間存在雙射因此，當且僅當程 y^2= x^3- (n^2) x 有一個有理解 (x, y) 且 y≠0 時，n＞0 是同余數(shù)。例如，由 1 不是同余數(shù)，y^2= x^2- x 的唯一有理解是 y = 0。具體對應如下，如果我們在長為 3，4，5，面積為 6 的三角形上嘗試這對應關系，那么應的解是 (x，y) =(12，36)。這非常不可思議的。一個從數(shù)論和幾何的題開始，通過代，把它轉(zhuǎn)化成一關于平面曲線上理點的問題！橢曲線一般來說，果 f (x) 表示具有非零判式的三次多項式即所有的根都是同的），那么 y^2= f (x) 描述的是一條橢圓曲線，除了無窮遠點”（即圓曲線上點在加運算下構(gòu)成的群的單位元）?，F(xiàn)，通過一個小小代數(shù)技巧，我們以對坐標進行適的（有理）改變并得到一條形式的新曲線，使得條曲線上的有理點一一對應。從在開始，當我們“橢圓曲線”時指的是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲線以及無窮遠的一點??。此外我們假定系數(shù) a 和 b 是有理數(shù)。橢圓曲線有種典型的形狀，下圖所示。維基科然而，如果我把 x 和 y 看作復變量，曲看起來就完全不了。它們看起來是甜甜圈。那么們?yōu)槭裁匆芯?圓曲線，我們可用它們做什么呢首先，許多數(shù)論題可以轉(zhuǎn)化為丟圖方程的問題，次，橢圓曲線與稱為格子（lattices）的離散幾何對象有關并與一些非常重的被稱為模形式對象密切相關，些對象是一些極對稱的復函數(shù)，中包含大量的數(shù)信息。實際上，圓曲線和模形式間的聯(lián)系是證明馬大定理的關鍵安德魯?懷爾斯 20 世紀 90 年代通過幾年的努力實現(xiàn)了建了這種聯(lián)系，從證明了費馬大定。在密碼學中，圓曲線也被用于密信息和在線交。然而，它們最要的特征是一個人興奮的事實，它們不僅僅是曲和幾何。事實上它們有一個代數(shù)構(gòu)叫做阿貝爾群構(gòu)，這是一種幾運算（規(guī)則），來把曲線上的點加。對于阿貝爾，你可以把它想成一組對象，對們進行運算，使它們具有與整數(shù)加法方面相同的構(gòu)（除了它們可是有限的）。阿爾群的例子有：于加法運算的整?。將正方形順針旋轉(zhuǎn) 90 度的操作。以向量元素，向量加法運算的向量空間橢圓曲線的神奇處在于，我們可在橢圓曲線上的理數(shù)點（也就是，x 和 y 坐標都是有理數(shù)）間定義一個運算稱它為“⊕”）這樣曲線上這些的集合就變成了個關于運算“⊕和單位元素??（窮遠處的點）的貝爾群。讓我們義這個運算。如你在曲線上取兩有理點（例如 P 和 Q），并考慮一條經(jīng)過它們直線，那么這條線與曲線相交于一個有理點（可是無窮遠處的點。我們稱這個點-R?，F(xiàn)在，因為曲線是關于 x 軸對稱的，我們到另一個有理點 R。這個反射點（上圖中的 R）是前面提到的兩個（P 和 Q）的相加。我們可以成可以證明，這運算是滿足結(jié)合，這真的很令人訝。此外，無窮處的點作為這個算的（唯一）恒式，每個點都有個逆點。巨大的團事實證明，兩不同的橢圓曲線以有截然不同的。一個重要的不量，在某種意義是最具定義性的征，就是所謂的線（或群）的秩一條曲線上可以有限個有理點，可以有無限個有點。我們感興趣是，需要多少點能根據(jù)前面提到加法規(guī)則生成所其他的點。這些成器被稱為基點秩是一種維數(shù)度，就像向量空間維數(shù)一樣，表示多少獨立的基點在曲線上）具有限階。如果曲線只包含有限數(shù)量有理點，那么秩零。仍然有一個，但它是有限的計算橢圓曲線的是出了名的困難但莫德爾告訴我橢圓曲線的秩總有限的。也就是，我們只需要有數(shù)量的基點就可生成曲線上的所有理點。數(shù)論中重要和最有趣的題之一被稱為波和斯溫納頓-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關于橢圓曲線秩。事實上，它如此的困難和重，以至于它成了禧年難題之一。具有有理數(shù)系數(shù)橢圓曲線上尋找理點是困難的。種方法是通過對線 p 進行模數(shù)化簡，其中 p 是質(zhì)數(shù)。這意味，我們不考慮方 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，而是考慮同余的理解集，為了使有意義，我們可必須通過在兩邊以整數(shù)來消去分。所以我們考慮是兩個數(shù)，當除 p 時余數(shù)相同，在這個新空間相等。這樣做的處是，現(xiàn)在只有限數(shù)量的東西需檢查。讓我們用 N_p 表示對 p 取模的簡化曲線的有理解的個。在 20 世紀 60 年代早期，戴爾在劍橋大計算機實驗室使 EDSAC-2 計算機來計算在已知秩的橢圓曲上取 p 模的點數(shù)。他和數(shù)學家萊恩?約翰?伯一起研究了橢圓線，并在計算機理了一堆下面形的橢圓曲線之后于 x 的增長，他們從與曲線 E 相關的數(shù)據(jù)中得到以下輸出：y^2= x^3- 5x（作為一個例子）。我應該注到 x 軸是 log log x，y 軸是 log y。在這個圖上，回歸線的斜似乎是 1。曲線 E 的秩是 1，當他們嘗試不秩的曲線時，每都發(fā)現(xiàn)了相同的式。擬合的回歸的斜率似乎總是于曲線的秩。更確地說，他們提了大膽的猜想這 C 是某個常數(shù)。這種計算機運加上極大的遠見使他們對曲線的塞-韋爾 L-函數(shù) L (E，s) 在 s = 1 時的行為做出了一般性猜想。個 L 函數(shù)定義如下。讓令曲線判別式記為 Δ。然后我們可以定與 E 相關的 L 函數(shù)為以下的歐拉積我們把它做復變量 s 的函數(shù)。波奇和斯納頓-戴雅猜想現(xiàn)在是這樣的：設 E 為?上的任意橢圓曲線。曲線 E 的有理點的阿貝爾群 E (?) 的秩等于 s = 1 時 L (E, s) 的零點的階。之以說它很有遠見因為，在當時，們甚至不知道是所有這樣的 L 函數(shù)都存在所謂解析延拓。問題，上面定義的 L (E, s) 僅當 Re (s)＞3/2。它們都可以用解析延在 s = 1 處求值，這在 2001 年首次被證明，通過安德?懷爾斯證明的模形式的密切聯(lián)。有時這個猜想用 L 函數(shù)的泰勒展開來表示的但它是用不同的式來表達同樣的情。有理數(shù)的領可以被更一般的域所取代。橢圓線的是一場數(shù)論抽象代數(shù)和幾何間的美麗舞蹈。于它們，除了我這里描述的，還很多可說的，我望你能感受到或到一些令人震驚東西。本文來自信公眾號：老胡科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是?
