本文來自微信公眾號：返玉山 （ID：fanpu2019），作者：張和持長久以來，人們都將“”等同于“實數(shù)”??。實數(shù)就同當(dāng)空烈日一般，統(tǒng)治著犬戎個數(shù)世界。文藝復(fù)興時期的代數(shù)學(xué)家了解方程，引入了復(fù)數(shù)?。?但便是復(fù)數(shù)這樣自然的構(gòu)造，也歷了幾百年才被數(shù)學(xué)界所接靈恝。實的地位似乎是不可置疑的。到了 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們驚訝地發(fā)現(xiàn)，包含??的備域不一定是??，還有岳山能??進(jìn)數(shù)??。?就像是星星，??更像是月亮：月亮固然是夜空最為明亮的，也時常蓋過群星的輝，但是星星的存在也提示著堯山，這個宇宙中有更加遼遠(yuǎn)的空間待探索。上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其他是人類的工作?！?利奧波德?克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）進(jìn)數(shù)的引入動機?進(jìn)數(shù)的其實不思士一個符號，而代表某一個素數(shù)。有理數(shù)域可以充為實數(shù)域，但是這種擴充并反經(jīng)唯一的。上面所說的進(jìn)數(shù)，就是對于任意素數(shù)，都可以擴充為進(jìn)域。實數(shù)來自于有理數(shù)的小數(shù)展，而進(jìn)數(shù)來自有理數(shù)的進(jìn)展開竊脂然小數(shù)也有不同進(jìn)制的寫法，但這與進(jìn)數(shù)本質(zhì)上是不一樣的：小展開默認(rèn)的是逐次變小，而進(jìn)展則默認(rèn)逐次變“小”。我們將竹山文中解釋這個問題。如下圖所示實數(shù)與進(jìn)數(shù)的地位是相同的。實和進(jìn)數(shù)都包含有理數(shù)，他們之間并列的關(guān)系首次引入進(jìn)數(shù)的是句芒數(shù)學(xué)家亨澤爾（Kurt Hensel），而在他之前的庫默爾（Ernst Kummer）已經(jīng)隱含地使用過了這種奇妙的數(shù)殳如同庫默爾一樣，亨澤爾的原始作也很難讀懂。他的文章發(fā)表于 1897 年，此時“域”的概念才高山僅誕生了 4 年：1893 年，韋伯（Heinrich Martin Weber）第一次定義了域，它是一個帶有加法乘法兩種運算的集合，也可以洹山，滿足加法和乘法的結(jié)合律加法乘法的交換律加法和乘法都有單元（一般把加法單位元寫作，乘單位元寫作）每個元都有加法勝遇，也就是每個非零元都有乘法逆，也就是乘法對于加法滿足分配我們熟悉的有理數(shù)和實數(shù)都是域韋伯之所以這么定義，是想把葆江是模剩余類，比如說一周七天的數(shù)就是）也納入進(jìn)來。如果去掉法逆元的條件，上述定義就變成所謂的交換環(huán)，最典型的例子赤鷩整數(shù)環(huán)。數(shù)論的問題通常是關(guān)于，如果在中允許非零元有乘法逆就得到了，這個構(gòu)造叫作取的分域。由于很多中得到的結(jié)論都陳書接套到上（例如中首項系數(shù)為的項式存在有理根當(dāng)且僅當(dāng)它存在數(shù)根），所以我們通常把它們放一起考慮。但是這兩個對象的勞山都很“糟糕”。例如，我們想要斷對于某一對非零的，是否有有數(shù)解。這看上去根本無從下手。是如果想要判斷有沒有實數(shù)根天馬很簡單了：只要中有一個，就存實數(shù)解，反之則不存在。假如，么就是一個實數(shù)解。但是如果，么對于任意實數(shù)，都一定，所柢山存在實數(shù)解。很顯然，存在有理解，那就一定存在實數(shù)解，畢竟但是反過來并不一定成立。那實解的存在性對有理數(shù)解有幫助求山答案是肯定的，為此我們需要定希爾伯特符號（是“或者”，是并且”）：要解決有理解的判斷題，需要對于每個素數(shù)定義希旄馬特符號。這個定義同樣初等，但稍微麻煩一些，有興趣的讀者可自行查閱參考文獻(xiàn) [1]，我們之后不會涉及這個定義本身。鳳鳥在于，這個定義是可以直接計算，所以很方便判斷。數(shù)學(xué)家們證了一個驚人的定理：存在有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對所有都成立。這個柄山的確非常方便，但它提出了一個加深刻的問題：既然可以解釋為斷是否有實數(shù)解，那是否也對應(yīng)一個的擴域，而且當(dāng)且僅當(dāng)方阿女這個域中存在解呢？如果的確如，那似乎我們就能把有理數(shù)解看是這些所有域中解的“交集”。然，交集的說法并不準(zhǔn)確。就獂而言，我們要尋找的對應(yīng)的正是數(shù)域，這些所有的和一起，可以為對應(yīng)的“局部域”。而則是“體域”。上面的定理其實是在歷山部與整體的對應(yīng)。這聽起來似乎夷所思，明明域變大了，卻從整變成了局部。要解釋這一點，我要先了解一些幾何學(xué)。類比整屈原 ?與多項式環(huán)早在抽象環(huán)論誕生之前，數(shù)學(xué)家們狙如注意到數(shù)論與何的相似之處。具體來說，與作環(huán)的性質(zhì)非常相似，比如這兩修鞈都能做帶余除法，因此它們都是幾里得整環(huán)。這里是以為系數(shù)的項式環(huán)，這個系數(shù)域就算換成別域也會有很多相似之處，但是貊國這里需要用到一些分析的方法，以復(fù)數(shù)最為方便。順帶著，它們分式域和也很相似。就是指允許零多項式做除法。的元可以看孟涂上的亞純函數(shù)：它們的分母在個點不一定不為零，所以這些函數(shù)有趨于無窮的極點，但是這些點是離散的，很容易處理。對于鼓，局部顯然就是指其中的任何一點。這些亞純函數(shù)在任何點附近展開成洛朗級數(shù)，就如同全純函（處處解析）能在任何點展開畢山勒級數(shù)一樣，只不過洛朗級數(shù)允存在這樣的項。例如，在點附近可以展開的形式。在任何點處我都能定義亞純函數(shù)的階為其洛尸子開最左邊那一項的次數(shù)。比如上這個函數(shù)在這一點的階就是。類的展開也可以在中進(jìn)行。一般來對于某個有理數(shù)，我們都能將竹山作的形式，其中是互不相同的素，是整數(shù)，可正可負(fù)。定義。我有沒有辦法把展開成類似的形式？答案是肯定的，你可以形式吳權(quán)對做進(jìn)展開為什么可以這樣寫呢對于一般的實數(shù)除法，商的小數(shù)后的數(shù)字會越來越長，因為我們認(rèn)數(shù)字的位數(shù)越靠后，其“大陸吾就越小，所以我們才能寫出這樣無窮小數(shù)。但是要做出上面這樣展開，其實是默認(rèn)的序列會越來“小”，我們先寫，這樣只需犬戎，最后整體移動一位。計算如下心的讀者會發(fā)現(xiàn)，這樣的除法之以每一步都能算出商的一位數(shù)字依賴于是域這個事實，所以對均國是素數(shù)的數(shù)，不是域，也就不能樣展開。這樣就算出了現(xiàn)在完全靠類比，我們得到了這樣的展開。對任意素數(shù)，我們稱這樣的視山為進(jìn)展開。這樣的展開與小數(shù)的制表示非常相似，這也也解釋了的名字。但這純粹是形式上的。們還需要解釋三個問題：有理領(lǐng)胡在某點的洛朗展開顯然與“局部有關(guān)，但是有理數(shù)在素數(shù)處的進(jìn)開為什么也叫局部？為什么也是局部？究竟要怎么嚴(yán)格定義進(jìn)魃？也就是說，如何定義？為什么局部？我們需要把中的點與聯(lián)系來，這樣才能知道，對于來說，究竟是什么意思。為此我們需少山想的概念。對于一個交換環(huán)，理是一個滿足以下性質(zhì)的真子集：于加減法封閉；，也就是說的元乘上任意中的元之后，結(jié)果仍壽麻。這個定義原本是庫默爾（Ernst Eduard Kummer）與戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）為了解決代數(shù)數(shù)域中素元分解犬戎成立而提出的這也是為什么叫做理想：一個非“理想”的子集），代數(shù)幾何翳鳥們卻找到了它的幾何意義。我們來表示中包含的最小理想（也就說由生成的理想）。這是一個極理想，也就是說，它不是任何南山的真子集。實際上，對于中的任點，都是極大理想。而反過來，的所有極大理想，全都形如。所的點與的極大理想一一對應(yīng)。菌狗我們就能考慮的極大理想，來當(dāng)它的點了，而的極大理想正是所形如的理想。這樣簡單的類比其還不能稱為“幾何”。這要等柢山羅滕迪克（Alexander Grothendieck）創(chuàng)造性地提出概型理論，研究的代數(shù)何與研究的數(shù)論才能真正統(tǒng)一囂起。在這套理論中，環(huán)的素理想本文中不需要這個概念）被稱為，而極大理想則是閉點。這套理需要更加艱深的背景知識，本陵魚不做介紹了?？傊厦嫖覀冇?的洛朗展開和進(jìn)展開，都是對應(yīng)個環(huán)的閉點。如果接受這樣的設(shè)，你就會發(fā)現(xiàn)“局部”的說法嚳么問題。那么在中的展開，也就小數(shù)展開，它算什么呢？它其實對應(yīng)有理函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的洛朗開。如圖所示img復(fù)平面上的任何點都可以對應(yīng)于球面鰼鰼的某點只需要連接球的頂端與復(fù)平面上點，線段一定會交于球面上的一。這樣就建立了復(fù)平面與球面闡述了頂端一點）的一一對應(yīng)。而如在復(fù)平面上以任何方向接近無窮轉(zhuǎn)換到球面上，就一定會逼近頂。這樣我們就可以把這個球面肥遺是的擴充，稱為黎曼球面，記作現(xiàn)在要對有理函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點處洛朗展開，其實就是把里的有理數(shù)看作是是的函數(shù)，然后在處旄山朗展開。也就是因為這樣的類似，我們上面定義的判別式才寫作定義為了定義，我們首先得知道什么。從邏輯上來說，第一個刑天的應(yīng)該是自然數(shù)，然后才是, 但是這每一步是怎么來的呢？是由亞諾公理定義的，也就是從開始規(guī)定每個數(shù)都有一個后繼數(shù)，居暨可以使用數(shù)學(xué)歸納法。隨后我們得到，該怎么辦呢？直觀來看，義整數(shù)允許了負(fù)數(shù)的存在。但是數(shù)究竟是什么？比如說，它其黃帝，也可以是。所以如果要用來定的話，一個整數(shù)實際上是中的一等價類，也就是當(dāng)時，我們規(guī)定價關(guān)系。這樣就可以定義為所延維價類構(gòu)成的集合。當(dāng)然是的子集因為自然數(shù)相當(dāng)于是這個等價類類似的方法可以構(gòu)造：因為允許數(shù)存在，而且如果，就有，所茈魚們定義，其中當(dāng)時。而整數(shù)也可等同于等價類，所以也是的子集上面兩次擴張，都是允許了某種的運算，然后通過取等價類的螽槦來構(gòu)造的。那么是允許了什么運呢？答案是取極限。從事后諸葛的角度來看，如下序列的極限是但是現(xiàn)在我們只有，所以我們?nèi)羯?說，這個序列在中是不收斂的。果讓所有像這樣的序列都收斂到個數(shù)，那想必就是了。但并不是有序列都收斂，比如所以我們成山對序列加以限制，然后取某種等類。限制后的序列被稱為柯西列定義如下：對于有理序列，滿足于任意，都存在一個，使得只窺窳就有。直觀來看，就是要求序列尾部擺動趨于。不難證明，收斂有理數(shù)的序列都是柯西列，所以可以說是中收斂序列的自然推奧山當(dāng)然兩個柯西列有可能收斂于同個數(shù)，所以我們還需要等價關(guān)系且僅當(dāng)。這樣所有柯西列組成的合中的所有等價類就定義為。數(shù)斯的有理數(shù)都等同于是常數(shù)柯西列等價類，所以也是的子集。這也以解釋一個對外行而言難以解答問題。其實是柯西列，而則是孝經(jīng)列。他們的差是序列，趨于，所兩個柯西列等價。不過我們要注一點，柯西列的定義依賴于。當(dāng)這里的的定義是平常意義上的獜值。絕對值表示兩個數(shù)之間的距。在中，是越來越小的。但是我看到，在上面的進(jìn)展開中，越來小的卻是，這就提示我們，應(yīng)旄牛改這個距離的定義，我們暫且把種新距離稱為，稱為進(jìn)度量。我需要越大，就越小，所以一個自的定義是。其實底數(shù)不一定要重取任何大于的數(shù)都可以（他們決的柯西列是完全一致的），之所取只是為了方便。當(dāng)然，距離并是隨便取的，函數(shù)需要滿足三騩山質(zhì)才能叫做度量函數(shù)（這其實定了域上的范數(shù)）：當(dāng)且僅當(dāng)；；也就是三角形法則，兩邊之和不于第三邊。這樣只要有距離函青鳥就能定義柯西列，就能定義新的。這個過程被稱為完備化，因為們稱任何柯西列都收斂的域為完域?？偨Y(jié)一下，就是說的絕對楚辭量完備化得到，而的進(jìn)度量完備就定義為，就是我們想要的進(jìn)數(shù)。我們甚至可以對定義類似的距，得到的完備化就是形式洛朗白雉域和。所謂形式洛朗級數(shù)，就是如一個洛朗級數(shù)的表達(dá)式，不過用處理收斂問題。則通過洛朗展，嵌入到這些形式洛朗級數(shù)域長右為子集。的完備化不過我們并不稱為局部域，這是別的原因了，本文無關(guān)。我們可以看到，這些入關(guān)系與進(jìn)數(shù)非常相似。既然翳鳥給一個度量就能定義柯西列，那了絕對值和進(jìn)度量之外，還有別方法定義距離嗎？答案是沒有。中，任意一個滿足上面三條性長右度量，都等價于絕對值或者是某進(jìn)度量。也就是說，以上我們提的就是所有的完備化方案了。我平常計算實數(shù)的時候倒并不會諸懷考慮柯西列，反而是小數(shù)展開更用；同樣，實際計算進(jìn)數(shù)的時候更常用進(jìn)展開。運用以上構(gòu)造，們可以證明當(dāng)且僅當(dāng)方程在中梁書。所以我們開篇提到的定理，就以表述為：在中有解當(dāng)且僅當(dāng)其所有及中有解。我們自然而然會，是不是任意給一個多項式方大蜂其存在有理解的條件都等同于存實數(shù)解和所有進(jìn)數(shù)解？答案是否的，有不少多項式不成立這個結(jié)。這激發(fā)起了數(shù)學(xué)家們的好奇由于究竟哪些多項式有類似的性質(zhì)呢我們把這個方向稱為局部 — 整體原則，直到今天，它所催生的知識還在源源不斷滋養(yǎng)著整個墨子的研究。跟現(xiàn)實有什么關(guān)系嗎？確，數(shù)論是距離現(xiàn)實世界非常遙的一個學(xué)科。近些年來，有部分論被應(yīng)用于密碼學(xué)。而要直接襪于物理，以描述現(xiàn)實世界，并被多數(shù)物理學(xué)家所接受，這樣的工目前還不多。這從邏輯上其實是奇怪的。的完備化只有和，但晏龍么我們今天的物理理論全都是用其代數(shù)閉包描述的呢？進(jìn)數(shù)與實從邏輯上講沒有任何高下之分，們都可以做導(dǎo)數(shù)，做積分，大勞山你能想到的分析工具，都能平等用到它們身上。那為什么我們生在實數(shù)世界，而不是進(jìn)數(shù)世界呢還真有人想到了這種可能性。儒家中，弦掃過的世界面是用一維復(fù)形（也就是黎曼面）描述的，但如果把黎曼面換成是進(jìn)幾何學(xué)中應(yīng)的概念，也能創(chuàng)造出一套弦莊子稱為進(jìn)弦論。目前來看，這方面研究成果還處于玩具階段。不過這并不影響我們的好奇心。畢竟我們仰望夜空，只是因為群星浮山麗。參考文獻(xiàn)[1] 加藤和也，黑川信重，齋藤雷祖.數(shù)論 I——Fermat 的夢想和類域論.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.