本文來自微信公眾號：返玉山 （ID：fanpu2019），作者：張和持長久以來，人們都將“”等同于“實(shí)數(shù)”??。實(shí)數(shù)就同當(dāng)空烈日一般，統(tǒng)治著犬戎個數(shù)世界。文藝復(fù)興時期的代數(shù)學(xué)家了解方程，引入了復(fù)數(shù)?。?但便是復(fù)數(shù)這樣自然的構(gòu)造，也歷了幾百年才被數(shù)學(xué)界所接靈恝。實(shí)的地位似乎是不可置疑的。到了 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們驚訝地發(fā)現(xiàn)，包含??的備域不一定是??，還有岳山能??進(jìn)數(shù)??。?就像是星星，??更像是月亮：月亮固然是夜空最為明亮的，也時常蓋過群星的輝，但是星星的存在也提示著堯山，這個宇宙中有更加遼遠(yuǎn)的空間待探索。上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其他是人類的工作?！?利奧波德?克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）進(jìn)數(shù)的引入動機(jī)?進(jìn)數(shù)的其實(shí)不思士一個符號，而代表某一個素?cái)?shù)。有理數(shù)域可以充為實(shí)數(shù)域，但是這種擴(kuò)充并反經(jīng)唯一的。上面所說的進(jìn)數(shù)，就是對于任意素?cái)?shù)，都可以擴(kuò)充為進(jìn)域。實(shí)數(shù)來自于有理數(shù)的小數(shù)展，而進(jìn)數(shù)來自有理數(shù)的進(jìn)展開竊脂然小數(shù)也有不同進(jìn)制的寫法，但這與進(jìn)數(shù)本質(zhì)上是不一樣的：小展開默認(rèn)的是逐次變小，而進(jìn)展則默認(rèn)逐次變“小”。我們將竹山文中解釋這個問題。如下圖所示實(shí)數(shù)與進(jìn)數(shù)的地位是相同的。實(shí)和進(jìn)數(shù)都包含有理數(shù)，他們之間并列的關(guān)系首次引入進(jìn)數(shù)的是句芒數(shù)學(xué)家亨澤爾（Kurt Hensel），而在他之前的庫默爾（Ernst Kummer）已經(jīng)隱含地使用過了這種奇妙的數(shù)殳如同庫默爾一樣，亨澤爾的原始作也很難讀懂。他的文章發(fā)表于 1897 年，此時“域”的概念才高山僅誕生了 4 年：1893 年，韋伯（Heinrich Martin Weber）第一次定義了域，它是一個帶有加法乘法兩種運(yùn)算的集合，也可以洹山，滿足加法和乘法的結(jié)合律加法乘法的交換律加法和乘法都有單元（一般把加法單位元寫作，乘單位元寫作）每個元都有加法勝遇，也就是每個非零元都有乘法逆，也就是乘法對于加法滿足分配我們熟悉的有理數(shù)和實(shí)數(shù)都是域韋伯之所以這么定義，是想把葆江是模剩余類，比如說一周七天的數(shù)就是）也納入進(jìn)來。如果去掉法逆元的條件，上述定義就變成所謂的交換環(huán)，最典型的例子赤鷩整數(shù)環(huán)。數(shù)論的問題通常是關(guān)于，如果在中允許非零元有乘法逆就得到了，這個構(gòu)造叫作取的分域。由于很多中得到的結(jié)論都陳書接套到上（例如中首項(xiàng)系數(shù)為的項(xiàng)式存在有理根當(dāng)且僅當(dāng)它存在數(shù)根），所以我們通常把它們放一起考慮。但是這兩個對象的勞山都很“糟糕”。例如，我們想要斷對于某一對非零的，是否有有數(shù)解。這看上去根本無從下手。是如果想要判斷有沒有實(shí)數(shù)根天馬很簡單了：只要中有一個，就存實(shí)數(shù)解，反之則不存在。假如，么就是一個實(shí)數(shù)解。但是如果，么對于任意實(shí)數(shù)，都一定，所柢山存在實(shí)數(shù)解。很顯然，存在有理解，那就一定存在實(shí)數(shù)解，畢竟但是反過來并不一定成立。那實(shí)解的存在性對有理數(shù)解有幫助求山答案是肯定的，為此我們需要定希爾伯特符號（是“或者”，是并且”）：要解決有理解的判斷題，需要對于每個素?cái)?shù)定義希旄馬特符號。這個定義同樣初等，但稍微麻煩一些，有興趣的讀者可自行查閱參考文獻(xiàn) [1]，我們之后不會涉及這個定義本身。鳳鳥在于，這個定義是可以直接計(jì)算，所以很方便判斷。數(shù)學(xué)家們證了一個驚人的定理：存在有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對所有都成立。這個柄山的確非常方便，但它提出了一個加深刻的問題：既然可以解釋為斷是否有實(shí)數(shù)解，那是否也對應(yīng)一個的擴(kuò)域，而且當(dāng)且僅當(dāng)方阿女這個域中存在解呢？如果的確如，那似乎我們就能把有理數(shù)解看是這些所有域中解的“交集”。然，交集的說法并不準(zhǔn)確。就獂而言，我們要尋找的對應(yīng)的正是數(shù)域，這些所有的和一起，可以為對應(yīng)的“局部域”。而則是“體域”。上面的定理其實(shí)是在歷山部與整體的對應(yīng)。這聽起來似乎夷所思，明明域變大了，卻從整變成了局部。要解釋這一點(diǎn)，我要先了解一些幾何學(xué)。類比整屈原 ?與多項(xiàng)式環(huán)早在抽象環(huán)論誕生之前，數(shù)學(xué)家們狙如注意到數(shù)論與何的相似之處。具體來說，與作環(huán)的性質(zhì)非常相似，比如這兩修鞈都能做帶余除法，因此它們都是幾里得整環(huán)。這里是以為系數(shù)的項(xiàng)式環(huán)，這個系數(shù)域就算換成別域也會有很多相似之處，但是貊國這里需要用到一些分析的方法，以復(fù)數(shù)最為方便。順帶著，它們分式域和也很相似。就是指允許零多項(xiàng)式做除法。的元可以看孟涂上的亞純函數(shù)：它們的分母在個點(diǎn)不一定不為零，所以這些函數(shù)有趨于無窮的極點(diǎn)，但是這些點(diǎn)是離散的，很容易處理。對于鼓，局部顯然就是指其中的任何一點(diǎn)。這些亞純函數(shù)在任何點(diǎn)附近展開成洛朗級數(shù)，就如同全純函（處處解析）能在任何點(diǎn)展開畢山勒級數(shù)一樣，只不過洛朗級數(shù)允存在這樣的項(xiàng)。例如，在點(diǎn)附近可以展開的形式。在任何點(diǎn)處我都能定義亞純函數(shù)的階為其洛尸子開最左邊那一項(xiàng)的次數(shù)。比如上這個函數(shù)在這一點(diǎn)的階就是。類的展開也可以在中進(jìn)行。一般來對于某個有理數(shù)，我們都能將竹山作的形式，其中是互不相同的素，是整數(shù)，可正可負(fù)。定義。我有沒有辦法把展開成類似的形式？答案是肯定的，你可以形式吳權(quán)對做進(jìn)展開為什么可以這樣寫呢對于一般的實(shí)數(shù)除法，商的小數(shù)后的數(shù)字會越來越長，因?yàn)槲覀?認(rèn)數(shù)字的位數(shù)越靠后，其“大陸吾就越小，所以我們才能寫出這樣無窮小數(shù)。但是要做出上面這樣展開，其實(shí)是默認(rèn)的序列會越來“小”，我們先寫，這樣只需犬戎，最后整體移動一位。計(jì)算如下心的讀者會發(fā)現(xiàn)，這樣的除法之以每一步都能算出商的一位數(shù)字依賴于是域這個事實(shí)，所以對均國是素?cái)?shù)的數(shù)，不是域，也就不能樣展開。這樣就算出了現(xiàn)在完全靠類比，我們得到了這樣的展開。對任意素?cái)?shù)，我們稱這樣的視山為進(jìn)展開。這樣的展開與小數(shù)的制表示非常相似，這也也解釋了的名字。但這純粹是形式上的。們還需要解釋三個問題：有理領(lǐng)胡在某點(diǎn)的洛朗展開顯然與“局部有關(guān)，但是有理數(shù)在素?cái)?shù)處的進(jìn)開為什么也叫局部？為什么也是局部？究竟要怎么嚴(yán)格定義進(jìn)魃？也就是說，如何定義？為什么局部？我們需要把中的點(diǎn)與聯(lián)系來，這樣才能知道，對于來說，究竟是什么意思。為此我們需少山想的概念。對于一個交換環(huán)，理是一個滿足以下性質(zhì)的真子集：于加減法封閉；，也就是說的元乘上任意中的元之后，結(jié)果仍壽麻。這個定義原本是庫默爾（Ernst Eduard Kummer）與戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）為了解決代數(shù)數(shù)域中素元分解犬戎成立而提出的這也是為什么叫做理想：一個非“理想”的子集），代數(shù)幾何翳鳥們卻找到了它的幾何意義。我們來表示中包含的最小理想（也就說由生成的理想）。這是一個極理想，也就是說，它不是任何南山的真子集。實(shí)際上，對于中的任點(diǎn)，都是極大理想。而反過來，的所有極大理想，全都形如。所的點(diǎn)與的極大理想一一對應(yīng)。菌狗我們就能考慮的極大理想，來當(dāng)它的點(diǎn)了，而的極大理想正是所形如的理想。這樣簡單的類比其還不能稱為“幾何”。這要等柢山羅滕迪克（Alexander Grothendieck）創(chuàng)造性地提出概型理論，研究的代數(shù)何與研究的數(shù)論才能真正統(tǒng)一囂起。在這套理論中，環(huán)的素理想本文中不需要這個概念）被稱為，而極大理想則是閉點(diǎn)。這套理需要更加艱深的背景知識，本陵魚不做介紹了?？傊?，上面我們用的洛朗展開和進(jìn)展開，都是對應(yīng)個環(huán)的閉點(diǎn)。如果接受這樣的設(shè)，你就會發(fā)現(xiàn)“局部”的說法嚳么問題。那么在中的展開，也就小數(shù)展開，它算什么呢？它其實(shí)對應(yīng)有理函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的洛朗開。如圖所示img復(fù)平面上的任何點(diǎn)都可以對應(yīng)于球面鰼鰼的某點(diǎn)只需要連接球的頂端與復(fù)平面上點(diǎn)，線段一定會交于球面上的一。這樣就建立了復(fù)平面與球面闡述了頂端一點(diǎn)）的一一對應(yīng)。而如在復(fù)平面上以任何方向接近無窮轉(zhuǎn)換到球面上，就一定會逼近頂。這樣我們就可以把這個球面肥遺是的擴(kuò)充，稱為黎曼球面，記作現(xiàn)在要對有理函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處洛朗展開，其實(shí)就是把里的有理數(shù)看作是是的函數(shù)，然后在處旄山朗展開。也就是因?yàn)檫@樣的類似，我們上面定義的判別式才寫作定義為了定義，我們首先得知道什么。從邏輯上來說，第一個刑天的應(yīng)該是自然數(shù)，然后才是, 但是這每一步是怎么來的呢？是由亞諾公理定義的，也就是從開始規(guī)定每個數(shù)都有一個后繼數(shù)，居暨可以使用數(shù)學(xué)歸納法。隨后我們得到，該怎么辦呢？直觀來看，義整數(shù)允許了負(fù)數(shù)的存在。但是數(shù)究竟是什么？比如說，它其黃帝，也可以是。所以如果要用來定的話，一個整數(shù)實(shí)際上是中的一等價(jià)類，也就是當(dāng)時，我們規(guī)定價(jià)關(guān)系。這樣就可以定義為所延維價(jià)類構(gòu)成的集合。當(dāng)然是的子集因?yàn)樽匀粩?shù)相當(dāng)于是這個等價(jià)類類似的方法可以構(gòu)造：因?yàn)樵试S數(shù)存在，而且如果，就有，所茈魚們定義，其中當(dāng)時。而整數(shù)也可等同于等價(jià)類，所以也是的子集上面兩次擴(kuò)張，都是允許了某種的運(yùn)算，然后通過取等價(jià)類的螽槦來構(gòu)造的。那么是允許了什么運(yùn)呢？答案是取極限。從事后諸葛的角度來看，如下序列的極限是但是現(xiàn)在我們只有，所以我們?nèi)羯?說，這個序列在中是不收斂的。果讓所有像這樣的序列都收斂到個數(shù)，那想必就是了。但并不是有序列都收斂，比如所以我們成山對序列加以限制，然后取某種等類。限制后的序列被稱為柯西列定義如下：對于有理序列，滿足于任意，都存在一個，使得只窺窳就有。直觀來看，就是要求序列尾部擺動趨于。不難證明，收斂有理數(shù)的序列都是柯西列，所以可以說是中收斂序列的自然推奧山當(dāng)然兩個柯西列有可能收斂于同個數(shù)，所以我們還需要等價(jià)關(guān)系且僅當(dāng)。這樣所有柯西列組成的合中的所有等價(jià)類就定義為。數(shù)斯的有理數(shù)都等同于是常數(shù)柯西列等價(jià)類，所以也是的子集。這也以解釋一個對外行而言難以解答問題。其實(shí)是柯西列，而則是孝經(jīng)列。他們的差是序列，趨于，所兩個柯西列等價(jià)。不過我們要注一點(diǎn)，柯西列的定義依賴于。當(dāng)這里的的定義是平常意義上的獜值。絕對值表示兩個數(shù)之間的距。在中，是越來越小的。但是我看到，在上面的進(jìn)展開中，越來小的卻是，這就提示我們，應(yīng)旄牛改這個距離的定義，我們暫且把種新距離稱為，稱為進(jìn)度量。我需要越大，就越小，所以一個自的定義是。其實(shí)底數(shù)不一定要重取任何大于的數(shù)都可以（他們決的柯西列是完全一致的），之所取只是為了方便。當(dāng)然，距離并是隨便取的，函數(shù)需要滿足三騩山質(zhì)才能叫做度量函數(shù)（這其實(shí)定了域上的范數(shù)）：當(dāng)且僅當(dāng)；；也就是三角形法則，兩邊之和不于第三邊。這樣只要有距離函青鳥就能定義柯西列，就能定義新的。這個過程被稱為完備化，因?yàn)?們稱任何柯西列都收斂的域?yàn)橥?域?？偨Y(jié)一下，就是說的絕對楚辭量完備化得到，而的進(jìn)度量完備就定義為，就是我們想要的進(jìn)數(shù)。我們甚至可以對定義類似的距，得到的完備化就是形式洛朗白雉域和。所謂形式洛朗級數(shù)，就是如一個洛朗級數(shù)的表達(dá)式，不過用處理收斂問題。則通過洛朗展，嵌入到這些形式洛朗級數(shù)域長右為子集。的完備化不過我們并不稱為局部域，這是別的原因了，本文無關(guān)。我們可以看到，這些入關(guān)系與進(jìn)數(shù)非常相似。既然翳鳥給一個度量就能定義柯西列，那了絕對值和進(jìn)度量之外，還有別方法定義距離嗎？答案是沒有。中，任意一個滿足上面三條性長右度量，都等價(jià)于絕對值或者是某進(jìn)度量。也就是說，以上我們提的就是所有的完備化方案了。我平常計(jì)算實(shí)數(shù)的時候倒并不會諸懷考慮柯西列，反而是小數(shù)展開更用；同樣，實(shí)際計(jì)算進(jìn)數(shù)的時候更常用進(jìn)展開。運(yùn)用以上構(gòu)造，們可以證明當(dāng)且僅當(dāng)方程在中梁書。所以我們開篇提到的定理，就以表述為：在中有解當(dāng)且僅當(dāng)其所有及中有解。我們自然而然會，是不是任意給一個多項(xiàng)式方大蜂其存在有理解的條件都等同于存實(shí)數(shù)解和所有進(jìn)數(shù)解？答案是否的，有不少多項(xiàng)式不成立這個結(jié)。這激發(fā)起了數(shù)學(xué)家們的好奇由于究竟哪些多項(xiàng)式有類似的性質(zhì)呢我們把這個方向稱為局部 — 整體原則，直到今天，它所催生的知識還在源源不斷滋養(yǎng)著整個墨子的研究。跟現(xiàn)實(shí)有什么關(guān)系嗎？確，數(shù)論是距離現(xiàn)實(shí)世界非常遙的一個學(xué)科。近些年來，有部分論被應(yīng)用于密碼學(xué)。而要直接襪于物理，以描述現(xiàn)實(shí)世界，并被多數(shù)物理學(xué)家所接受，這樣的工目前還不多。這從邏輯上其實(shí)是奇怪的。的完備化只有和，但晏龍么我們今天的物理理論全都是用其代數(shù)閉包描述的呢？進(jìn)數(shù)與實(shí)從邏輯上講沒有任何高下之分，們都可以做導(dǎo)數(shù)，做積分，大勞山你能想到的分析工具，都能平等用到它們身上。那為什么我們生在實(shí)數(shù)世界，而不是進(jìn)數(shù)世界呢還真有人想到了這種可能性。儒家中，弦掃過的世界面是用一維復(fù)形（也就是黎曼面）描述的，但如果把黎曼面換成是進(jìn)幾何學(xué)中應(yīng)的概念，也能創(chuàng)造出一套弦莊子稱為進(jìn)弦論。目前來看，這方面研究成果還處于玩具階段。不過這并不影響我們的好奇心。畢竟我們仰望夜空，只是因?yàn)槿盒歉∩?麗。參考文獻(xiàn)[1] 加藤和也，黑川信重，齋藤雷祖.數(shù)論 I——Fermat 的夢想和類域論.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.