這些由非常單的方程定的曲線籠罩神秘和優(yōu)雅中。事實上描述它們的程非常簡單即使是高中也能理解。而，盡管世上一些最偉的數(shù)學(xué)家做了不懈的努，仍有大量于它們的簡問題尚未解。但這還不全部。正如很快就會看的，這個理連接了數(shù)學(xué)各個重要領(lǐng)，因為橢圓線不僅僅是面曲線。一古老的問題數(shù)學(xué)中，一幾何問題可轉(zhuǎn)化為代數(shù)題，反之亦。例如，看下幾千年前一個經(jīng)典問，正整數(shù) n 是否等于某個邊長是有數(shù)的直角三形的面積。這種情況下n 被稱為同余數(shù)。例如6 是一個同余數(shù)，因為是邊長為 3，4 和 5 的直角三角形的面積。1640 年，費馬證明了 1 不是全等數(shù)。自從費的證明之后證明某個數(shù)（或不是）余數(shù)的研究一直在進行令人驚奇的，我們可以初等方法證對于每一組理數(shù)數(shù)（a，b，c），如果有我們可找到兩個有數(shù) x 和 y，使得反過來，對于每有理數(shù)對 (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我們可以找到三個理數(shù) a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。也就是說，當(dāng) y≠0 時，面積為 n 的直角三角恰好對應(yīng)方 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦然。學(xué)家會說這個集合之間在雙射。因，當(dāng)且僅當(dāng)程 y^2= x^3- (n^2) x 有一個有理解 (x, y) 且 y≠0 時，n＞0 是同余數(shù)。例如由于 1 不是同余數(shù)，y^2= x^2- x 的唯一有理解 y = 0。具體對應(yīng)下，如果我在邊長為 3，4，5，面積為 6 的三角形上嘗這種對應(yīng)關(guān)，那么對應(yīng)解是 (x，y) =(12，36)。這非常不可議的。一個從數(shù)論和幾的問題開始通過代數(shù)，它轉(zhuǎn)化成一關(guān)于平面曲上有理點的題！橢圓曲一般來說，果 f (x) 表示具有非零判別式三次多項式即所有的根是不同的）那么 y^2= f (x) 描述的是一條橢圓曲，除了“無遠點”（即圓曲線上點加法運算下成的群中的位元）?，F(xiàn)，通過一個小的代數(shù)技，我們可以坐標(biāo)進行適的（有理）變，并得到條形式為的曲線，使得條曲線上的理數(shù)點一一應(yīng)。從現(xiàn)在始，當(dāng)我們“橢圓曲線時，指的是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲線以無窮遠處的點??。此外我們假定系 a 和 b 是有理數(shù)。橢圓曲線有種典型的形，如下圖所。維基百科而，如果我把 x 和 y 看作復(fù)變量，曲線看來就完全不了。它們看來像是甜甜。那么我們什么要研究圓曲線，我可以用它們什么呢？首，許多數(shù)論題可以轉(zhuǎn)化丟番圖方程問題，其次橢圓曲線與稱為格子（lattices）的離散幾何對象有關(guān)并與一些非重要的被稱模形式的對密切相關(guān)，些對象是一極其對稱的函數(shù)，其中含大量的數(shù)信息。實際，橢圓曲線模形式之間聯(lián)系是證明馬大定理的鍵，安德魯懷爾斯在 20 世紀(jì) 90 年代通過幾年的努力現(xiàn)了建立了種聯(lián)系，從證明了費馬定理。在密學(xué)中，橢圓線也被用于密信息和在交易。然而它們最重要特征是一個人興奮的事，即它們不僅是曲線和何。事實上它們有一個數(shù)結(jié)構(gòu)叫做貝爾群結(jié)構(gòu)這是一種幾運算（規(guī)則，用來把曲上的點相加對于阿貝爾，你可以把想象成一組象，對它們行運算，使它們具有與數(shù)在加法方相同的結(jié)構(gòu)除了它們可是有限的）阿貝爾群的子有：關(guān)于法運算的整?。將正方順時針旋轉(zhuǎn) 90 度的操作。以向量元素，向量法為運算的量空間。橢曲線的神奇處在于，我可以在橢圓線上的有理點（也就是，x 和 y 坐標(biāo)都是有理數(shù)）之間義一個運算稱它為“⊕），這樣曲上這些點的合就變成了個關(guān)于運算⊕”和單位素??（無窮處的點）的貝爾群。讓們定義這個算。如果你曲線上取兩有理點（例 P 和 Q），并考慮條經(jīng)過它們直線，那么條直線與曲相交于另一有理點（可是無窮遠處點）。我們這個點為-R。現(xiàn)在，因曲線是關(guān)于 x 軸對稱的，我們得到一個有理點 R。這個反射點（上圖中 R）是前面提到的兩個（P 和 Q）的相加。們可以寫成以證明，這運算是滿足合律，這真很令人驚訝此外，無窮處的點作為個運算的（一）恒等式每個點都有個逆點。巨的謎團事實明，兩條不的橢圓曲線以有截然不的群。一個要的不變量在某種意義是最具定義的特征，就所謂的曲線或群）的秩一條曲線上以有有限個理點，也可有無限個有點。我們感趣的是，需多少點才能據(jù)前面提到加法規(guī)則生所有其他的。這些生成被稱為基點秩是一種維度量，就像量空間的維一樣，表示多少獨立的點（在曲線）具有無限。如果曲線只包含有限量的有理點那么秩為零仍然有一個，但它是有的。計算橢曲線的秩是了名的困難但莫德爾告我們橢圓曲的秩總是有的。也就是，我們只需有限數(shù)量的點就可以生曲線上的所有理點。數(shù)中最重要和有趣的問題一被稱為波和斯溫納頓-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關(guān)于圓曲線的秩事實上，它如此的困難重要，以至它成了千禧難題之一。具有有理數(shù)數(shù)的橢圓曲上尋找有理是困難的。種方法是通對曲線 p 進行模數(shù)化，其中 p 是質(zhì)數(shù)。這味著，我們考慮方程 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，而考慮同余的理解集，為使它有意義我們可能必通過在兩邊以整數(shù)來消分母。所以們考慮的是個數(shù)，當(dāng)除 p 時余數(shù)相同，在這新空間中相。這樣做的處是，現(xiàn)在有有限數(shù)量東西需要檢。讓我們用 N_p 表示對 p 取模的簡化曲線有理解的個。在 20 世紀(jì) 60 年代早期，爾在劍橋大計算機實驗使用 EDSAC-2 計算機來計算已知秩的橢曲線上取 p 模的點數(shù)。他和數(shù)學(xué)家萊恩?約翰伯奇一起研了橢圓曲線并在計算機理了一堆下形式的橢圓線之后對于 x 的增長，他們從與曲 E 相關(guān)的數(shù)據(jù)中得到下輸出：y^2= x^3- 5x（作為一個例子。我應(yīng)該注到 x 軸是 log log x，y 軸是 log y。在這個圖上，回線的斜率似是 1。曲線 E 的秩是 1，當(dāng)他們嘗試不同秩曲線時，每都發(fā)現(xiàn)了相的模式。擬的回歸線的率似乎總是于曲線的秩更準(zhǔn)確地說他們提出了膽的猜想這 C 是某個常數(shù)。這種算機運算加極大的遠見使他們對曲的哈塞-韋爾 L-函數(shù) L (E，s) 在 s = 1 時的行為做出了般性猜想。個 L 函數(shù)定義如下。令曲線的判式記為 Δ。然后我們可定義與 E 相關(guān)的 L 函數(shù)為以下歐拉積我們它看做復(fù)變 s 的函數(shù)。波奇和斯納頓-戴雅猜想現(xiàn)在是這的：設(shè) E 為?上的任橢圓曲線。線 E 的有理點的阿貝群 E (?) 的秩等于 s = 1 時 L (E, s) 的零點的階之所以說它有遠見是因，在當(dāng)時，們甚至不知是否所有這的 L 函數(shù)都存在所謂解析延拓。題是，上面義的 L (E, s) 僅當(dāng) Re (s)＞3/2。它們都可以用解析延在 s = 1 處求值，這在 2001 年首次被證明，通過德魯?懷爾證明的與模式的密切聯(lián)。有時這個想是用 L 函數(shù)的泰勒開來表示的但它是用不的方式來表同樣的事情有理數(shù)的領(lǐng)可以被更一的領(lǐng)域所取。橢圓曲線是一場數(shù)論抽象代數(shù)和何之間的美舞蹈。關(guān)于們，除了我這里描述的還有很多可的，我希望能感受到或到一些令人驚的東西。文來自微信眾號：老胡科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是?
