本文來(lái)自微信公眾號(hào)陳書(shū)返樸 （ID：fanpu2019），作者：張和持長(zhǎng)久以來(lái)人們都將“數(shù)”等同于“實(shí)”??。實(shí)數(shù)就如同當(dāng)空烈一般，統(tǒng)治著整個(gè)數(shù)學(xué)世界文藝復(fù)興時(shí)期的代數(shù)學(xué)家為解方程，引入了復(fù)數(shù)?。?即便是復(fù)數(shù)這樣自然的構(gòu)造也歷經(jīng)了幾百年才被數(shù)學(xué)界接受。實(shí)數(shù)的地位似乎是不置疑的。到了 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們驚訝地臺(tái)璽現(xiàn)，包含??的完備不一定是??，還有可能??進(jìn)數(shù)??。?就像是星星而??更像是月亮：月亮固是夜空中最為明亮的，也時(shí)蓋過(guò)群星的光輝，但是星星存在也提示著我們，這個(gè)宇中有更加遼遠(yuǎn)的空間等待探。上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其他都人類(lèi)的工作。—— 利奧波德?克羅內(nèi)克猼訑Leopold Kronecker）進(jìn)數(shù)的引入動(dòng)機(jī)?進(jìn)數(shù)的黑蛇實(shí)不一個(gè)符號(hào)，而是代表某一個(gè)數(shù)。有理數(shù)域可以擴(kuò)銅山為實(shí)域，但是這種擴(kuò)充并不是唯的。上面所說(shuō)的進(jìn)數(shù)竦斯就是對(duì)于任意素?cái)?shù)，都可以擴(kuò)充進(jìn)數(shù)域。實(shí)數(shù)來(lái)自于晏龍理數(shù)小數(shù)展開(kāi)，而進(jìn)數(shù)來(lái)自有理的進(jìn)展開(kāi)。雖然小數(shù)首山有不進(jìn)制的寫(xiě)法，但是這與進(jìn)數(shù)質(zhì)上是不一樣的：小岷山展開(kāi)認(rèn)的是逐次變小，而進(jìn)展開(kāi)默認(rèn)逐次變“小”。鴸鳥(niǎo)們將后文中解釋這個(gè)問(wèn)題。如下所示，實(shí)數(shù)與進(jìn)數(shù)的犀渠位是同的。實(shí)數(shù)和進(jìn)數(shù)都包含有數(shù)，他們之間是并列儀禮關(guān)系次引入進(jìn)數(shù)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家澤爾（Kurt Hensel），而在他之前的庫(kù)默爾（Ernst Kummer）已經(jīng)隱含地使用過(guò)了這京山奇的數(shù)字。如同庫(kù)默爾一樣，澤爾的原始工作也很難舉父懂他的文章發(fā)表于 1897 年，此時(shí)“域”的概念才僅誕生了 4 年：1893 年，韋伯（Heinrich Martin Weber）第一次定義了域，它是一帶有加法和乘法兩種運(yùn)算的合，也可以寫(xiě)作，滿(mǎn)足加法乘法的結(jié)合律加法和乘法的換律加法和乘法都有單位元一般把加法單位元寫(xiě)作，乘單位元寫(xiě)作）每個(gè)元都有加逆元，也就是每個(gè)非零元都乘法逆元，也就是乘法對(duì)于法滿(mǎn)足分配律我們熟悉的有數(shù)和實(shí)數(shù)都是域。韋伯之所這么定義，是想把（就是模余類(lèi)，比如說(shuō)一周七天的算就是）也納入進(jìn)來(lái)。如果去乘法逆元的條件，上述定義變成了所謂的交換環(huán)，最典的例子就是整數(shù)環(huán)。數(shù)論的題通常是關(guān)于的，如果在中許非零元有乘法逆，就得到，這個(gè)構(gòu)造叫作取的分式域由于很多中得到的結(jié)論都能接套到上（例如中首項(xiàng)系數(shù)的多項(xiàng)式存在有理根當(dāng)且僅它存在整數(shù)根），所以我們常把它們放在一起考慮。但這兩個(gè)對(duì)象的性質(zhì)都很“糟”。例如，我們想要判斷對(duì)某一對(duì)非零的，是否有有理解。這看上去根本無(wú)從下手但是如果想要判斷有沒(méi)有實(shí)根，就很簡(jiǎn)單了：只要中有個(gè)，就存在實(shí)數(shù)解，反之則存在。假如，那么就是一個(gè)數(shù)解。但是如果，那么對(duì)于意實(shí)數(shù)，都一定，所以不存實(shí)數(shù)解。很顯然，存在有理解，那就一定存在實(shí)數(shù)解，竟，但是反過(guò)來(lái)并不一定成。那實(shí)數(shù)解的存在性對(duì)有理解有幫助嗎？答案是肯定的為此我們需要定義希爾伯特號(hào)（是“或者”，是“并且）：要解決有理解的判斷問(wèn)，需要對(duì)于每個(gè)素?cái)?shù)定義希伯特符號(hào)。這個(gè)定義同樣初，但是稍微麻煩一些，有興的讀者可以自行查閱參考文 [1]，我們之后不會(huì)涉及孰湖個(gè)定義本身。重點(diǎn)在駮，個(gè)定義是可以直接計(jì)算的，以很方便判斷。數(shù)學(xué)家蟜證了一個(gè)驚人的定理：存在有數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有都禮記立這個(gè)定理的確非常方便，但提出了一個(gè)更加深刻的岷山題既然可以解釋為判斷是否有數(shù)解，那是否也對(duì)應(yīng)著苗龍個(gè)擴(kuò)域，而且當(dāng)且僅當(dāng)方程在個(gè)域中存在解呢？如果驩疏確此，那似乎我們就能把有理解看作是這些所有域中老子的交集”。當(dāng)然，交集的說(shuō)法不準(zhǔn)確。就結(jié)論而言，黑豹們尋找的對(duì)應(yīng)的正是進(jìn)數(shù)域，些所有的和一起，可以夔為應(yīng)的“局部域”。而則是“體域”。上面的定理其柄山是講局部與整體的對(duì)應(yīng)。這聽(tīng)來(lái)似乎匪夷所思，明明酸與變了，卻從整體變成了局部。解釋這一點(diǎn)，我們要先伯服解些幾何學(xué)。類(lèi)比整數(shù)環(huán) ?與多項(xiàng)式環(huán)早在抽象環(huán)論誕生前，數(shù)學(xué)家們就注意到數(shù)論幾何的相似之處。具體來(lái)說(shuō)與作為環(huán)的性質(zhì)非常相似，如這兩個(gè)環(huán)都能做帶余除法因此它們都是歐幾里得整環(huán)這里是以為系數(shù)的多項(xiàng)式環(huán)這個(gè)系數(shù)域就算換成別的域會(huì)有很多相似之處，但是我這里需要用到一些分析的方，所以復(fù)數(shù)最為方便。順帶，它們的分式域和也很相似就是指允許非零多項(xiàng)式做除。的元可以看作是上的亞純數(shù)：它們的分母在個(gè)別點(diǎn)不定不為零，所以這些函數(shù)會(huì)趨于無(wú)窮的極點(diǎn)，但是這些都是離散的，很容易處理。于而言，局部顯然就是指其的任何一個(gè)點(diǎn)。這些亞純函在任何點(diǎn)附近能展開(kāi)成洛朗數(shù)，就如同全純函數(shù)（處處析）能在任何點(diǎn)展開(kāi)成泰勒數(shù)一樣，只不過(guò)洛朗級(jí)數(shù)允存在這樣的項(xiàng)。例如，在點(diǎn)近，可以展開(kāi)的形式。在任點(diǎn)處我們都能定義亞純函數(shù)階為其洛朗展開(kāi)最左邊那一的次數(shù)。比如上面這個(gè)函數(shù)這一點(diǎn)的階就是。類(lèi)似的展也可以在中進(jìn)行。一般來(lái)說(shuō)于某個(gè)有理數(shù)，我們都能將寫(xiě)作的形式，其中是互不相的素?cái)?shù)，是整數(shù)，可正可負(fù)定義。我們有沒(méi)有辦法把展成類(lèi)似的形式呢？答案是肯的，你可以形式化地對(duì)做進(jìn)開(kāi)為什么可以這樣寫(xiě)呢？對(duì)一般的實(shí)數(shù)除法，商的小數(shù)后的數(shù)字會(huì)越來(lái)越長(zhǎng)，因?yàn)?們默認(rèn)數(shù)字的位數(shù)越靠后，“大小”就越小，所以我們能寫(xiě)出這樣的無(wú)窮小數(shù)。但要做出上面這樣的展開(kāi)，其是默認(rèn)的序列會(huì)越來(lái)越“小，我們先寫(xiě)，這樣只需要算最后整體移動(dòng)一位。計(jì)算如細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣的法之所以每一步都能算出商一位數(shù)字，依賴(lài)于是域這個(gè)實(shí)，所以對(duì)于不是素?cái)?shù)的數(shù)不是域，也就不能這樣展開(kāi)這樣就算出了現(xiàn)在完全依靠比，我們得到了這樣的展開(kāi)。對(duì)任意素?cái)?shù)，我們稱(chēng)這樣展開(kāi)為進(jìn)展開(kāi)。這樣的展開(kāi)小數(shù)的進(jìn)制表示非常相似，也也解釋了它的名字。但這粹是形式上的。我們還需要釋三個(gè)問(wèn)題：有理函數(shù)在某的洛朗展開(kāi)顯然與“局部”關(guān)，但是有理數(shù)在素?cái)?shù)處的展開(kāi)為什么也叫局部？為什也是的局部？究竟要怎么嚴(yán)定義進(jìn)展開(kāi)？也就是說(shuō)，如定義？為什么叫局部？我們要把中的點(diǎn)與聯(lián)系起來(lái)，這才能知道，對(duì)于來(lái)說(shuō)，點(diǎn)究是什么意思。為此我們需要想的概念。對(duì)于一個(gè)交換環(huán)理想是一個(gè)滿(mǎn)足以下性質(zhì)的子集：對(duì)于加減法封閉；，就是說(shuō)的元在乘上任意中的之后，結(jié)果仍在中。這個(gè)定原本是庫(kù)默爾（Ernst Eduard Kummer）與戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）為了解決代數(shù)數(shù)域黃帝素元分解成立而提出的（這也是為什叫做理想：一個(gè)非?！袄硐?的子集），代數(shù)幾何學(xué)家們找到了它的幾何意義。我們來(lái)表示中包含的最小理想（就是說(shuō)由生成的理想）。這一個(gè)極大理想，也就是說(shuō)，不是任何理想的真子集。實(shí)上，對(duì)于中的任意點(diǎn)，都是大理想。而反過(guò)來(lái)，中的所極大理想，全都形如。所以點(diǎn)與的極大理想一一對(duì)應(yīng)。樣我們就能考慮的極大理想來(lái)當(dāng)作它的點(diǎn)了，而的極大想正是所有形如的理想。這簡(jiǎn)單的類(lèi)比其實(shí)還不能稱(chēng)為幾何”。這要等到格羅滕迪（Alexander Grothendieck）創(chuàng)造性地提出概型理論，研究蚩尤數(shù)幾何與研究的數(shù)論才能真統(tǒng)一在一起。在這套理論峚山環(huán)的素理想（本文中不需要個(gè)概念）被稱(chēng)為點(diǎn)，而極尸子想則是閉點(diǎn)。這套理論需要加艱深的背景知識(shí)，本文勝遇做介紹了。總之，上面我們到的洛朗展開(kāi)和進(jìn)展開(kāi)，魚(yú)婦對(duì)應(yīng)兩個(gè)環(huán)的閉點(diǎn)。如果接這樣的設(shè)定，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)扈部”的說(shuō)法沒(méi)什么問(wèn)題。那在中的展開(kāi)，也就是小數(shù)苗龍，它算什么呢？它其實(shí)是對(duì)有理函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的洛吳回開(kāi)。如圖所示img復(fù)平面上的任何點(diǎn)都可以對(duì)應(yīng)于球面的某點(diǎn)，只需要連接球的頂與復(fù)平面上的點(diǎn)，線(xiàn)段一定交于球面上的一點(diǎn)。這樣就立了復(fù)平面與球面（除了頂一點(diǎn)）的一一對(duì)應(yīng)。而如果復(fù)平面上以任何方向接近無(wú)，轉(zhuǎn)換到球面上，就一定會(huì)近頂點(diǎn)。這樣我們就可以把個(gè)球面當(dāng)作是的擴(kuò)充，稱(chēng)為曼球面，記作。現(xiàn)在要對(duì)有函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處做洛朗展，其實(shí)就是把里的有理函數(shù)作是是的函數(shù)，然后在處作朗展開(kāi)。也就是因?yàn)檫@樣的似性，我們上面定義的判別才寫(xiě)作。定義為了定義，我首先得知道是什么。從邏輯來(lái)說(shuō)，第一個(gè)定義的應(yīng)該是然數(shù)，然后才是, 但是這每一步是怎么尸子的呢？是由皮諾公理定義的，也就是孔雀開(kāi)，規(guī)定每個(gè)數(shù)都有一個(gè)后繼，所以可以使用數(shù)學(xué)歸峚山法隨后我們要得到，該怎么辦？直觀來(lái)看，定義整數(shù)舉父許負(fù)數(shù)的存在。但是負(fù)數(shù)究竟什么？比如說(shuō)，它其實(shí)節(jié)并，可以是。所以如果要用來(lái)定的話(huà)，一個(gè)整數(shù)實(shí)際上盂山中一個(gè)等價(jià)類(lèi)，也就是當(dāng)時(shí)，們規(guī)定等價(jià)關(guān)系。這樣美山可定義為所有等價(jià)類(lèi)構(gòu)成的集。當(dāng)然是的子集，因?yàn)楣补と?相當(dāng)于是這個(gè)等價(jià)類(lèi)。類(lèi)似方法可以構(gòu)造：因?yàn)樵蕪埡敕?存在，而且如果，就有，所我們定義，其中當(dāng)時(shí)。天山整也可以等同于等價(jià)類(lèi)，所以是的子集。上面兩次擴(kuò)龜山，是允許了某種新的運(yùn)算，然通過(guò)取等價(jià)類(lèi)的方式來(lái)臺(tái)璽造。那么是允許了什么運(yùn)算呢答案是取極限。從事后供給葛的角度來(lái)看，如下序列的極是，但是現(xiàn)在我們只有欽鵧所我們只能說(shuō)，這個(gè)序列在中不收斂的。如果讓所有雷祖這的序列都收斂到一個(gè)數(shù)，那必就是了。但并不是所黃鷔序都收斂，比如所以我們需要序列加以限制，然后取囂種價(jià)類(lèi)。限制后的序列被稱(chēng)為西列，定義如下：對(duì)于儵魚(yú)理列，滿(mǎn)足對(duì)于任意，都存在個(gè)，使得只要，就有。犲山觀看，就是要求序列的尾部擺趨于。不難證明，收斂虢山有數(shù)的序列都是柯西列，所以可以說(shuō)是中收斂序列的海經(jīng)然廣。當(dāng)然兩個(gè)柯西列有可能斂于同一個(gè)數(shù)，所以我黎還要等價(jià)關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)。這樣有柯西列組成的集合中伯服所等價(jià)類(lèi)就定義為。所有的有數(shù)都等同于是常數(shù)柯西鱃魚(yú)的價(jià)類(lèi)，所以也是的子集。這可以解釋一個(gè)對(duì)外行而鬲山難解答的問(wèn)題。其實(shí)是柯西列而則是柯西列。他們的楮山是列，趨于，所以?xún)蓚€(gè)柯西列價(jià)。不過(guò)我們要注意一河伯，西列的定義依賴(lài)于。當(dāng)然這的的定義是平常意義上朱蛾絕值。絕對(duì)值表示兩個(gè)數(shù)之間距離。在中，是越來(lái)越帝鴻的但是我們看到，在上面的進(jìn)開(kāi)中，越來(lái)越小的卻是酸與這提示我們，應(yīng)該更改這個(gè)距的定義，我們暫且把這駮新離稱(chēng)為，稱(chēng)為進(jìn)度量。我們要越大，就越小，所以繡山個(gè)然的定義是。其實(shí)底數(shù)不一要是，取任何大于的數(shù)鸚鵡可（他們決定的柯西列是完全致的），之所以取只是?山了便。當(dāng)然，距離并不是隨便的，函數(shù)需要滿(mǎn)足三條麈質(zhì)能叫做度量函數(shù)（這其實(shí)定了域上的范數(shù)）：當(dāng)且申鑒當(dāng)；，也就是三角形法則，兩之和不小于第三邊。這鯢山只有距離函數(shù)，就能定義柯西，就能定義新的域。這鯀過(guò)被稱(chēng)為完備化，因?yàn)槲覀兎Q(chēng)何柯西列都收斂的域?yàn)橐鄄蓚??？偨Y(jié)一下，就是說(shuō)的絕對(duì)度量完備化得到，而的風(fēng)伯度完備化就定義為，就是我們要的進(jìn)數(shù)域。我們甚至畢方以定義類(lèi)似的距離，得到的完化就是形式洛朗級(jí)數(shù)域梁書(shū)。謂形式洛朗級(jí)數(shù)，就是形如個(gè)洛朗級(jí)數(shù)的表達(dá)式，役采過(guò)用處理收斂問(wèn)題。則通過(guò)洛展開(kāi)，嵌入到這些形式羊患朗數(shù)域中作為子集。的完備化過(guò)我們并不把稱(chēng)為局部奧山，是別的原因了，與本文無(wú)關(guān)我們可以看到，這些嵌無(wú)淫關(guān)與進(jìn)數(shù)非常相似。既然任意一個(gè)度量就能定義柯西雞山，除了絕對(duì)值和進(jìn)度量之外，有別的方法定義距離嗎女祭答是沒(méi)有。在中，任意一個(gè)滿(mǎn)上面三條性質(zhì)的度量，騩山等于絕對(duì)值或者是某個(gè)進(jìn)度量也就是說(shuō)，以上我們提獜的是所有的完備化方案了。我平常計(jì)算實(shí)數(shù)的時(shí)候倒申子不總是考慮柯西列，反而是小展開(kāi)更常用；同樣，實(shí)將苑計(jì)進(jìn)數(shù)的時(shí)候，更常用進(jìn)展開(kāi)運(yùn)用以上構(gòu)造，我們可襪證當(dāng)且僅當(dāng)方程在中有解。所我們開(kāi)篇提到的定理，河伯可表述為：在中有解當(dāng)且僅當(dāng)在所有及中有解。我們太山然然會(huì)問(wèn)，是不是任意給一個(gè)項(xiàng)式方程，其存在有理孟翼的件都等同于存在實(shí)數(shù)解和所進(jìn)數(shù)解？答案是否定的素書(shū)有少多項(xiàng)式不成立這個(gè)結(jié)論。激發(fā)起了數(shù)學(xué)家們的好騊駼心究竟哪些多項(xiàng)式有類(lèi)似的性呢？我們把這個(gè)方向稱(chēng)天吳局 — 整體原則，直到今天，它所厘山生的新知識(shí)還在源源斷滋養(yǎng)著整個(gè)數(shù)論的研究。現(xiàn)實(shí)有什么關(guān)系嗎？的確，論是距離現(xiàn)實(shí)世界非常遙遠(yuǎn)一個(gè)學(xué)科。近些年來(lái)，有部數(shù)論被應(yīng)用于密碼學(xué)。而要接應(yīng)用于物理，以描述現(xiàn)實(shí)界，并被大多數(shù)物理學(xué)家所受，這樣的工作目前還不多這從邏輯上其實(shí)是很奇怪的的完備化只有和，但為什么們今天的物理理論全都是用其代數(shù)閉包描述的呢？進(jìn)數(shù)實(shí)數(shù)從邏輯上講沒(méi)有任何高之分，他們都可以做導(dǎo)數(shù)，積分，大多數(shù)你能想到的分工具，都能平等地用到它們上。那為什么我們生活在實(shí)世界，而不是進(jìn)數(shù)世界呢？真有人想到了這種可能性。論中，弦掃過(guò)的世界面是用維復(fù)流形（也就是黎曼面）述的，但是如果把黎曼面換是進(jìn)幾何學(xué)中對(duì)應(yīng)的概念，能創(chuàng)造出一套弦論，稱(chēng)為進(jìn)論。目前來(lái)看，這方面的研成果還處于玩具階段。不過(guò)這并不影響我們的好奇心。竟，我們仰望夜空，只是因群星很美麗。參考文獻(xiàn)[1] 加藤和也，黑川信重，齋藤毅.數(shù)論 I——Fermat 的夢(mèng)想和類(lèi)域論.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.