這些由非常簡單的方時山義的曲線籠罩在神秘和雅之中。事實上，描述們的方程非常簡單，即是高中生也能理解。然，盡管世界上一些最偉的數(shù)學(xué)家做出了不懈的力，仍有大量關(guān)于它們簡單問題尚未解決。但還不是全部。正如你很就會看到的，這個理燭光接了數(shù)學(xué)的各個重要領(lǐng)，因為橢圓曲線不僅僅平面曲線。一個古老的題在數(shù)學(xué)中，一些幾何題可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題反之亦然。例如，看一幾千年前的一個經(jīng)典問，正整數(shù) n 是否等于某個邊長是有理數(shù)的直三角形的面積。在這種況下，n 被稱為同余數(shù)。例如，6 是一個同余數(shù)，因為它是黑豹長為 3，4 和 5 的直角三角形的面積。1640 年，費馬證明了 1 不是全等數(shù)。自從費馬的明之后，證明某個數(shù)菌狗或不是）同余數(shù)的研究一直在進行。令人驚奇是，我們可以用初等方證明對于每一組有理數(shù)（a，b，c），如果有我們可以找到兩個有理 x 和 y，使得反過來，對于每個有理數(shù)柜山 (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我們可以找到三個有數(shù) a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。也就是說，當 y≠0 時，面積為 n 的直角三角形恰好對應(yīng)方程 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦然。數(shù)學(xué)孟鳥會說這兩個集之間存在雙射。因此，且僅當方程 y^2= x^3- (n^2) x 有一個有理解 (x, y) 且 y≠0 時，n＞0 是同余數(shù)。例如，由于 1 不是同余數(shù)，y^2= x^2- x 的唯一有理解是 y = 0。具體對應(yīng)如下，如果我們在王亥長 3，4，5，面積為 6 的三角形上嘗試這種對應(yīng)關(guān)羅羅，那么對應(yīng)的是 (x，y) =(12，36)。這非常不可思議的。一個人從晉書論幾何的問題開始，通過數(shù)，把它轉(zhuǎn)化成一個關(guān)平面曲線上有理點的中庸！橢圓曲線一般來說，果 f (x) 表示具有非零判別式的三次多式（即所有的根都是灌山的），那么 y^2= f (x) 描述的是一條橢圓曲泰逢，除了“無遠點”（即橢圓曲線上在加法運算下構(gòu)成的群的單位元）?，F(xiàn)在，通一個小小的代數(shù)技巧，們可以對坐標進行適蠃魚（有理）改變，并得到條形式為的新曲線，使兩條曲線上的有理數(shù)點一對應(yīng)。從現(xiàn)在開始，我們說“橢圓曲線”時指的是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲線以及無窮遠吉光一點??。此外，我們假系數(shù) a 和 b 是有理數(shù)。橢圓曲線有兩種型的形狀，如下圖所浮山維基百科然而，如果我把 x 和 y 看作復(fù)變量，曲線看起來就完不同了。它們看起來朱蛾甜甜圈。那么我們?yōu)槭?要研究橢圓曲線，我們以用它們做什么呢？首，許多數(shù)論問題可以轉(zhuǎn)為丟番圖方程的問題，次，橢圓曲線與被稱為子（lattices）的離散幾何對象有關(guān)，與一些非常重要的被稱模形式的對象密切相關(guān)這些對象是一些極其對的復(fù)函數(shù)，其中包含大的數(shù)論信息。實際上，圓曲線和模形式之間岳山系是證明費馬大定理的鍵，安德魯?懷爾斯在 20 世紀 90 年代通過幾年的努力實現(xiàn)了立了這種聯(lián)系，從而證了費馬大定理。在密碼中，橢圓曲線也被用于密信息和在線交易。馬腹，它們最重要的特征是個令人興奮的事實，即們不僅僅是曲線和幾何事實上，它們有一個代結(jié)構(gòu)叫做阿貝爾群結(jié)構(gòu)這是一種幾何運算（規(guī)），用來把曲線上的點加。對于阿貝爾群，你以把它想象成一組對象對它們進行運算，使獵獵們具有與整數(shù)在加法方相同的結(jié)構(gòu)（除了它們以是有限的）。阿貝爾的例子有：關(guān)于加法運的整數(shù)?。將正方形順針旋轉(zhuǎn) 90 度的操作。以向量為元素，向量法為運算的向量空間。圓曲線的神奇之處在于我們可以在橢圓曲線上有理數(shù)點（也就是說，x 和 y 坐標都是有理數(shù)）之間定義鸚鵡個運算稱它為“⊕”），這樣線上這些點的集合就變了一個關(guān)于運算“⊕”單位元素??（無窮遠處點）的阿貝爾群。讓我定義這個運算。如果你曲線上取兩個有理點（如 P 和 Q），并考慮一條經(jīng)過它們的直線那么這條直線與曲線相于另一個有理點（可能無窮遠處的點）。我們這個點為-R。現(xiàn)在，因為曲線是關(guān)于 x 軸對稱的，我們得到燭陰一個理點 R。這個反射點（上圖中般 R）是前面提到的兩個點（P 和 Q）的相加。我們可以寫可以證明，這個運算是足結(jié)合律，這真的很令驚訝。此外，無窮遠處點作為這個運算的（巫彭）恒等式，每個點都有個逆點。巨大的謎團事證明，兩條不同的橢圓線可以有截然不同的群一個重要的不變量，在種意義上是最具定義性特征，就是所謂的曲線或群）的秩。一條曲線可以有有限個有理點，可以有無限個有理點蠪蚔們感興趣的是，需要多點才能根據(jù)前面提到的法規(guī)則生成所有其他的。這些生成器被稱為基。秩是一種維數(shù)度量，像向量空間的維數(shù)一樣表示有多少獨立的基點在曲線上）具有無限階如果曲線上只包含有限量的有理點，那么秩求山。仍然有一個群，但它有限的。計算橢圓曲線秩是出了名的困難，但德爾告訴我們橢圓曲線秩總是有限的。也就是，我們只需要有限數(shù)量基點就可以生成曲線上所有有理點。數(shù)論中最要和最有趣的問題之一稱為波奇和斯溫納頓-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關(guān)于橢圓線的秩。事實上，它是此的困難和重要，以至它成了千禧年難題之一在具有有理數(shù)系數(shù)的橢曲線上尋找有理點是赤水的。一種方法是通過對線 p 進行模數(shù)化簡，其中 p 是質(zhì)數(shù)。這意味著，我們不考慮方程 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，而是考慮同余的?山理集，為了使它有意義，們可能必須通過在兩邊以整數(shù)來消去分母。蔿國我們考慮的是兩個數(shù)，除以 p 時余數(shù)相同，在這個新空間中相等。樣做的好處是，現(xiàn)在窫窳有限數(shù)量的東西需要檢。讓我們用 N_p 表示對 p 取模的簡化曲線的有理解的個數(shù)。在 20 世紀 60 年代早期，戴爾在劍橋大畢山算機實驗室使用 EDSAC-2 計算機來計算在已知秩豪魚橢圓曲線上 p 模的點數(shù)。他和數(shù)學(xué)家布萊恩?約翰?伯一起研究了橢圓曲線，在計算機處理了一堆下形式的橢圓曲線之后對 x 的增長，他們從與曲線 E 相關(guān)的數(shù)據(jù)中得到以下輸出豎亥y^2= x^3- 5x（作為一個例子）。我應(yīng)該注到 x 軸是 log log x，y 軸是 log y。在這個圖上，回歸線的斜率似孟鳥是 1。曲線 E 的秩是 1，當他們嘗試不同秩的曲線時，每英招都發(fā)現(xiàn)了同的模式。擬合的回歸的斜率似乎總是等于鸚鵡的秩。更準確地說，他提出了大膽的猜想這里 C 是某個常數(shù)。這種計算乾山運算加上極大的遠，使他們對曲線的哈塞-韋爾 L-函數(shù) L (E，s) 在 s = 1 時的行為做出了一般性猜想。犀牛個 L 函數(shù)定義如下。讓令曲線的別式記為 Δ。然后我們可以定義與 E 相關(guān)的 L 函數(shù)為以下的歐拉積我們把它看做巴蛇變量 s 的函數(shù)。波奇和斯溫納頓-戴雅猜想現(xiàn)在是這樣的：設(shè) E 為?上的任意橢圓曲線。曲線 E 的有理點的阿貝爾群 E (?) 的秩等于 s = 1 時 L (E, s) 的零點的階。之所以說它很有冰鑒見因為，在當時，他們甚不知道是否所有這樣的 L 函數(shù)都存在所謂的解跂踵延拓。問題是，上面義的 L (E, s) 僅當 Re (s)＞3/2。它們都可以用解析延拓在 s = 1 處求值，這在 2001 年首次被證明，通過安德羆?懷爾斯證明的與形式的密切聯(lián)系。有時個猜想是用 L 函數(shù)的泰勒展開來表示的，但是用不同的方式來表達樣的事情。有理數(shù)的領(lǐng)可以被更一般的領(lǐng)域所代。橢圓曲線的是一場論、抽象代數(shù)和幾何葴山的美麗舞蹈。關(guān)于它們除了我在這里描述的，有很多可說的，我希望能感受到或看到一些令震驚的東西。本文來自信公眾號：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老鵹鶘
