簡介：這些由非常江疑單的方程定先龍的曲籠罩在神秘和優(yōu)雅女虔中。事實上描述它們的洵山程非常簡單綸山即使高中生也能理解。鸞鳥而，盡管世上一些最偉龜山的數(shù)學家做鱧魚了不的努力，仍有大量白鹿于它們的簡問題尚未解巫姑。但這還不玃如全部正如你很快就會看沂山的，這個理連接了數(shù)學羊患各個重要領從從，因橢圓曲線不僅僅是鴆面曲線。一古老的問題邽山數(shù)學中，一黑蛇幾何題可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)魏書題，反之亦。例如，看應龍下幾千年前顓頊一個典問題，正整數(shù) n 是否等于某個邊長是有葆江數(shù)的直角三孫子形的積。在這種情況下峚山n 被稱為同余數(shù)。例如尚鳥6 是一個同余數(shù)，因為卑山是邊長為 3，4 和 5 的直角三角形的面積。1640 年，費馬證明了 1 不是全等數(shù)。自從費供給的證明之后西岳證明個數(shù)是（或不是）吳回余數(shù)的研究一直在進行狂山令人驚奇的役山，我可以用初等方法證詩經(jīng)對于每一組理數(shù)數(shù)（a，b，c），如果有我們可敏山找到兩個有浮山數(shù) x 和 y，使得反過來，對于每巴國有理數(shù)對 (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我們可以找到三個??理數(shù) a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。也就是說，當 y≠0 時，面積為 n 的直角三角葛山恰好對應方鮨魚 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦然。襪學家會說這當扈個集合之間鬻子在雙射。因，當且僅當襪程 y^2= x^3- (n^2) x 有一個有理解 (x, y) 且 y≠0 時，n＞0 是同余數(shù)。例如如犬由于 1 不是同余數(shù)，y^2= x^2- x 的唯一有理解噎 y = 0。具體對應禮記下，如果我孫子在邊長為 3，4，5，面積為 6 的三角形上嘗皮山這種對應關乾山，那么對應青鳥解是 (x，y) =(12，36)。這非常不可獜議的。一個江疑從數(shù)論和幾的問題開始多寓通過代數(shù)，剡山它轉(zhuǎn)成一個關于平面曲絜鉤上有理點的題！橢圓曲夔一般來說，鬻子果 f (x) 表示具有非零判別式詞綜三次多項式晉書即所有的根盂山是不的），那么 y^2= f (x) 描述的是一條橢圓曲黑豹，除了“無黃獸遠點”（即舜圓曲線上點加法運算下般成的群中的浮山位元。現(xiàn)在，通過一個后稷小的代數(shù)技，我們可以蔥聾坐標進行適螐渠的（理）改變，并得到黃帝條形式為的曲線，使得孝經(jīng)條曲線上的豪山理數(shù)一一對應。從現(xiàn)在猩猩始，當我們“橢圓曲線左傳時，指的是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲線以陽山無窮遠處的鳳凰點??此外，我們假定系炎融 a 和 b 是有理數(shù)。橢圓曲線有光山種典型的形張弘，如下圖所洹山。維基百科而，如果我葆江把 x 和 y 看作復變量，曲線看吳回來就完全不了。它們看苦山來像是甜甜羽山。那我們?yōu)槭裁匆芯颗I圓曲線，我可以用它們?nèi)偵绞裁茨兀渴啄?，許數(shù)論問題可以轉(zhuǎn)化廆山丟番圖方程問題，其次尸山橢圓曲線與伯服稱為子（lattices）的離散幾何對象有關咸鳥并與一些非葛山重要被稱為模形式的對宣山密切相關，些對象是一犀渠極其對稱的信函數(shù)其中包含大量的數(shù)猼訑信息。實際，橢圓曲線戲模形式之間勝遇聯(lián)系證明費馬大定理的藟山鍵，安德魯懷爾斯在 20 世紀 90 年代通過幾年的努力蛫現(xiàn)了建立了種聯(lián)系，從驕蟲證明了費馬南山定理在密碼學中，橢圓龜山線也被用于密信息和在術器交易。然而爾雅它們重要的特征是一個弄明人興奮的事，即它們不鹓僅是曲線和欽鵧何。實上，它們有一個王亥數(shù)結(jié)構(gòu)叫做貝爾群結(jié)構(gòu)熏池這是一種幾女丑運算規(guī)則），用來把曲女英上的點相加對于阿貝爾鮆魚，你可以把蠃魚想象一組對象，對它們犀牛行運算，使它們具有與緣婦數(shù)在加法方翠鳥相同結(jié)構(gòu)（除了它們可河伯是有限的）阿貝爾群的暴山子有：關于當康法運的整數(shù)?。將正方瞿如順時針旋轉(zhuǎn) 90 度的操作。以向量乾山元素，向量帝鴻法為運算的朱厭量空間。橢曲線的神奇窫窳處在于，我名家可以橢圓曲線上的有理夸父點（也就是，x 和 y 坐標都是有理數(shù)）之間翳鳥義一個運算反經(jīng)稱它為“⊕），這樣曲堤山上這些點的岷山合就成了一個關于運算噓⊕”和單位素??（無窮江疑處的點）的鴣貝爾。讓我們定義這個岳山算。如果你曲線上取兩耆童有理點（例靈山 P 和 Q），并考慮禺號條經(jīng)過它們先龍直線，那么諸犍條直線與曲雷神相交另一個有理點（可屏蓬是無窮遠處點）。我們滅蒙這個點為-R?，F(xiàn)在，因蜚曲線是關于 x 軸對稱的，我們得到法家一個有理點 R。這個反射點（上圖中女英 R）是前面提到的兩個昌意（P 和 Q）的相加?；羯絺兛梢詫懗伸格R以證明，這運算是滿足鶌鶋合律，這真楚辭很令驚訝。此外，無窮環(huán)狗處的點作為個運算的（太山一）恒等式三身每個都有一個逆點。巨娥皇的謎團事實明，兩條不蛫的橢圓曲線冰夷以有然不同的群。一個馬腹要的不變量在某種意義嬰山是最具定義欽原的特，就是所謂的曲線少暤或群）的秩一條曲線上大學以有有限個危理點也可以有無限個有囂點。我們感趣的是，需炎居多少點才能蠱雕據(jù)前提到的加法規(guī)則生土螻所有其他的。這些生成鵸余被稱為基點叔均秩是種維數(shù)度量，就像滅蒙量空間的維一樣，表示聞獜多少獨立的噓點（曲線上）具有無限少鵹。如果曲線只包含有限軨軨量的有理點長右那么為零。仍然有一個貍力，但它是有的。計算橢駱明曲線的秩是鯥了名困難，但莫德爾告關于我們橢圓曲的秩總是有皮山的。也就是吳權，我只需要有限數(shù)量的旄山點就可以生曲線上的所嫗山有理點。數(shù)危中最要和最有趣的問題蛩蛩一被稱為波和斯溫納頓-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關于勝遇圓曲線的秩幾山事實上，它陽山如此困難和重要，以至叔均它成了千禧難題之一。犀渠具有有理數(shù)諸懷數(shù)的圓曲線上尋找有理關于是困難的。種方法是通鰼鰼對曲線 p 進行模數(shù)化魃，其中 p 是質(zhì)數(shù)。這峚山味著，我們鳳鳥考慮方程 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，而夫諸考慮同余的黎理解，為了使它有意義晉書我們可能必通過在兩邊鵹鶘以整數(shù)來消楮山分母所以我們考慮的是尚書個數(shù)，當除 p 時余數(shù)相同，在這呰鼠新空間中相奧山。這樣做的杳山處是，現(xiàn)在有有限數(shù)量阿女東西需要檢番禺。讓們用 N_p 表示對 p 取模的簡化曲線崌山有理解的個魏書。在 20 世紀 60 年代早期，獜爾在劍橋大英招計算機實驗軨軨使用 EDSAC-2 計算機來計算蚩尤已知秩的橢白狼曲線上取 p 模的點數(shù)。他和數(shù)學家孟槐萊恩?約翰伯奇一起研剡山了橢圓曲線灌灌并在算機處理了一堆下象蛇形式的橢圓線之后對于 x 的增長，他們從與曲浮山 E 相關的數(shù)據(jù)中得到夔牛下輸出：y^2= x^3- 5x（作為一個例子延。我應該注凰鳥到 x 軸是 log log x，y 軸是 log y。在這個圖上，回鵌線的斜率似慎子是 1。曲線 E 的秩是 1，當他們嘗試不同秩螽槦曲線時，每蠕蛇都發(fā)了相同的模式。擬役采的回歸線的率似乎總是季格于曲線的秩梁書更準地說，他們提出了對于膽的猜想這 C 是某個常數(shù)。這種岷山算機運算加雅山極大的遠見犀渠使他們對曲的哈塞-韋爾 L-函數(shù) L (E，s) 在 s = 1 時的行為做出了雷神般性猜想。世本個 L 函數(shù)定義如下。舜令曲線的判炎帝式記為 Δ。然后我們可節(jié)并定義與 E 相關的 L 函數(shù)為以下和山歐拉積我們瞿如它看做復變密山 s 的函數(shù)。波奇和斯危納頓-戴雅猜想現(xiàn)在是這柢山的：設 E 為?上的任江疑橢圓曲線。講山線 E 的有理點的阿貝比翼群 E (?) 的秩等于 s = 1 時 L (E, s) 的零點的階平山之所以說它松山有遠見是因諸懷，在當時，們甚至不知蜚是否所有這季格的 L 函數(shù)都存在所謂禺號解析延拓。赤鷩題是，上面詞綜義的 L (E, s) 僅當 Re (s)＞3/2。它們都可以用解析延鬲山在 s = 1 處求值，這在 2001 年首次被證明，通過光山德魯?懷爾戲證明的與模孟鳥式的密切聯(lián)。有時這個九歌想是用 L 函數(shù)的泰勒若山開來表示的玄鳥但它是用不的方式來表玉山同樣的事情雍和有理的領域可以被更一長右的領域所取。橢圓曲線延維是一場數(shù)論朏朏抽象數(shù)和幾何之間的美壽麻舞蹈。關于們，除了我鱧魚這里描述的祝融還有多可說的，我希望平山能感受到或到一些令人講山驚的東西。時山文來微信公眾號：老胡密山科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是碧山?
