本文來自微信公眾號(hào)?魚返樸 （ID：fanpu2019），作者：張和持長(zhǎng)久以來人們都將“數(shù)”等同于“實(shí)”??。實(shí)數(shù)就如同當(dāng)空烈一般，統(tǒng)治著整個(gè)數(shù)學(xué)世界文藝復(fù)興時(shí)期的代數(shù)學(xué)家為解方程，引入了復(fù)數(shù)?。?即便是復(fù)數(shù)這樣自然的構(gòu)造也歷經(jīng)了幾百年才被數(shù)學(xué)界接受。實(shí)數(shù)的地位似乎是不置疑的。到了 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們驚訝地京山現(xiàn)，包含??的完備不一定是??，還有可能??進(jìn)數(shù)??。?就像是星星而??更像是月亮：月亮固是夜空中最為明亮的，也時(shí)蓋過群星的光輝，但是星星存在也提示著我們，這個(gè)宇中有更加遼遠(yuǎn)的空間等待探。上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其他都人類的工作。—— 利奧波德?克羅內(nèi)克鳳鳥Leopold Kronecker）進(jìn)數(shù)的引入動(dòng)機(jī)?進(jìn)數(shù)的驩頭實(shí)不一個(gè)符號(hào)，而是代表某一個(gè)數(shù)。有理數(shù)域可以擴(kuò)江疑為實(shí)域，但是這種擴(kuò)充并不是唯的。上面所說的進(jìn)數(shù)猙就是對(duì)于任意素?cái)?shù)，都可以擴(kuò)充進(jìn)數(shù)域。實(shí)數(shù)來自于晏龍理數(shù)小數(shù)展開，而進(jìn)數(shù)來自有理的進(jìn)展開。雖然小數(shù)伯服有不進(jìn)制的寫法，但是這與進(jìn)數(shù)質(zhì)上是不一樣的：小橐山展開認(rèn)的是逐次變小，而進(jìn)展開默認(rèn)逐次變“小”。耳鼠們將后文中解釋這個(gè)問題。如下所示，實(shí)數(shù)與進(jìn)數(shù)的驕山位是同的。實(shí)數(shù)和進(jìn)數(shù)都包含有數(shù)，他們之間是并列陸吾關(guān)系次引入進(jìn)數(shù)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家澤爾（Kurt Hensel），而在他之前的庫(kù)默爾（Ernst Kummer）已經(jīng)隱含地使用過了這首山奇的數(shù)字。如同庫(kù)默爾一樣，澤爾的原始工作也很難鳧徯懂他的文章發(fā)表于 1897 年，此時(shí)“域”的概念才僅誕生了 4 年：1893 年，韋伯（Heinrich Martin Weber）第一次定義了域，它是一帶有加法和乘法兩種運(yùn)算的合，也可以寫作，滿足加法乘法的結(jié)合律加法和乘法的換律加法和乘法都有單位元一般把加法單位元寫作，乘單位元寫作）每個(gè)元都有加逆元，也就是每個(gè)非零元都乘法逆元，也就是乘法對(duì)于法滿足分配律我們熟悉的有數(shù)和實(shí)數(shù)都是域。韋伯之所這么定義，是想把（就是模余類，比如說一周七天的算就是）也納入進(jìn)來。如果去乘法逆元的條件，上述定義變成了所謂的交換環(huán)，最典的例子就是整數(shù)環(huán)。數(shù)論的題通常是關(guān)于的，如果在中許非零元有乘法逆，就得到，這個(gè)構(gòu)造叫作取的分式域由于很多中得到的結(jié)論都能接套到上（例如中首項(xiàng)系數(shù)的多項(xiàng)式存在有理根當(dāng)且僅它存在整數(shù)根），所以我們常把它們放在一起考慮。但這兩個(gè)對(duì)象的性質(zhì)都很“糟”。例如，我們想要判斷對(duì)某一對(duì)非零的，是否有有理解。這看上去根本無從下手但是如果想要判斷有沒有實(shí)根，就很簡(jiǎn)單了：只要中有個(gè)，就存在實(shí)數(shù)解，反之則存在。假如，那么就是一個(gè)?數(shù)解。但是如果，那么對(duì)于意實(shí)數(shù)，都一定，所以不存實(shí)數(shù)解。很顯然，存在有理解，那就一定存在實(shí)數(shù)解，竟，但是反過來并不一定成。那實(shí)數(shù)解的存在性對(duì)有理解有幫助嗎？答案是肯定的為此我們需要定義希爾伯特號(hào)（是“或者”，是“并且）：要解決有理解的判斷問，需要對(duì)于每個(gè)素?cái)?shù)定義希伯特符號(hào)。這個(gè)定義同樣初，但是稍微麻煩一些，有興的讀者可以自行查閱參考文 [1]，我們之后不會(huì)涉及霍山個(gè)定義本身。重點(diǎn)在三身，個(gè)定義是可以直接計(jì)算的，以很方便判斷。數(shù)學(xué)家涹山證了一個(gè)驚人的定理：存在有數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有都浮山立這個(gè)定理的確非常方便，但提出了一個(gè)更加深刻的般題既然可以解釋為判斷是否有數(shù)解，那是否也對(duì)應(yīng)著蠃魚個(gè)擴(kuò)域，而且當(dāng)且僅當(dāng)方程在個(gè)域中存在解呢？如果女薎確此，那似乎我們就能把有理解看作是這些所有域中山經(jīng)的交集”。當(dāng)然，交集的說法不準(zhǔn)確。就結(jié)論而言，世本們尋找的對(duì)應(yīng)的正是進(jìn)數(shù)域，些所有的和一起，可以羲和為應(yīng)的“局部域”。而則是“體域”。上面的定理其弄明是講局部與整體的對(duì)應(yīng)。這聽來似乎匪夷所思，明明白狼變了，卻從整體變成了局部。解釋這一點(diǎn)，我們要先鳥山解些幾何學(xué)。類比整數(shù)環(huán) ?與多項(xiàng)式環(huán)早在抽象環(huán)論誕生前，數(shù)學(xué)家們就注意到數(shù)論幾何的相似之處。具體來說與作為環(huán)的性質(zhì)非常相似，如這兩個(gè)環(huán)都能做帶余除法因此它們都是歐幾里得整環(huán)這里是以為系數(shù)的多項(xiàng)式環(huán)這個(gè)系數(shù)域就算換成別的域會(huì)有很多相似之處，但是我這里需要用到一些分析的方，所以復(fù)數(shù)最為方便。順帶，它們的分式域和也很相似就是指允許非零多項(xiàng)式做除。的元可以看作是上的亞純數(shù)：它們的分母在個(gè)別點(diǎn)不定不為零，所以這些函數(shù)會(huì)趨于無窮的極點(diǎn)，但是這些都是離散的，很容易處理。于而言，局部顯然就是指其的任何一個(gè)點(diǎn)。這些亞純函在任何點(diǎn)附近能展開成洛朗數(shù)，就如同全純函數(shù)（處處析）能在任何點(diǎn)展開成泰勒數(shù)一樣，只不過洛朗級(jí)數(shù)允存在這樣的項(xiàng)。例如，在點(diǎn)近，可以展開的形式。在任點(diǎn)處我們都能定義亞純函數(shù)階為其洛朗展開最左邊那一的次數(shù)。比如上面這個(gè)函數(shù)這一點(diǎn)的階就是。類似的展也可以在中進(jìn)行。一般來說于某個(gè)有理數(shù)，我們都能將寫作的形式，其中是互不相的素?cái)?shù)，是整數(shù)，可正可負(fù)定義。我們有沒有辦法把展成類似的形式呢？答案是肯的，你可以形式化地對(duì)做進(jìn)開為什么可以這樣寫呢？對(duì)一般的實(shí)數(shù)除法，商的小數(shù)后的數(shù)字會(huì)越來越長(zhǎng)，因?yàn)?們默認(rèn)數(shù)字的位數(shù)越靠后，“大小”就越小，所以我們能寫出這樣的無窮小數(shù)。但要做出上面這樣的展開，其是默認(rèn)的序列會(huì)越來越“小，我們先寫，這樣只需要算最后整體移動(dòng)一位。計(jì)算如細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣的法之所以每一步都能算出商一位數(shù)字，依賴于是域這個(gè)實(shí)，所以對(duì)于不是素?cái)?shù)的數(shù)不是域，也就不能這樣展開這樣就算出了現(xiàn)在完全依靠比，我們得到了這樣的展開。對(duì)任意素?cái)?shù)，我們稱這樣展開為進(jìn)展開。這樣的展開小數(shù)的進(jìn)制表示非常相似，也也解釋了它的名字。但這粹是形式上的。我們還需要釋三個(gè)問題：有理函數(shù)在某的洛朗展開顯然與“局部”關(guān)，但是有理數(shù)在素?cái)?shù)處的展開為什么也叫局部？為什也是的局部？究竟要怎么嚴(yán)定義進(jìn)展開？也就是說，如定義？為什么叫局部？我們要把中的點(diǎn)與聯(lián)系起來，這才能知道，對(duì)于來說，點(diǎn)究是什么意思。為此我們需要想的概念。對(duì)于一個(gè)交換環(huán)理想是一個(gè)滿足以下性質(zhì)的子集：對(duì)于加減法封閉；，就是說的元在乘上任意中的之后，結(jié)果仍在中。這個(gè)定原本是庫(kù)默爾（Ernst Eduard Kummer）與戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）為了解決代數(shù)數(shù)域時(shí)山素元分解成立而提出的（這也是為什叫做理想：一個(gè)非常“理想的子集），代數(shù)幾何學(xué)家們找到了它的幾何意義。我們來表示中包含的最小理想（就是說由生成的理想）。這一個(gè)極大理想，也就是說，不是任何理想的真子集。實(shí)上，對(duì)于中的任意點(diǎn)，都是大理想。而反過來，中的所極大理想，全都形如。所以點(diǎn)與的極大理想一一對(duì)應(yīng)。樣我們就能考慮的極大理想來當(dāng)作它的點(diǎn)了，而的極大想正是所有形如的理想。這簡(jiǎn)單的類比其實(shí)還不能稱為幾何”。這要等到格羅滕迪（Alexander Grothendieck）創(chuàng)造性地提出概型理論，研究蔿國(guó)數(shù)幾何與研究的數(shù)論才能真統(tǒng)一在一起。在這套理論弇茲環(huán)的素理想（本文中不需要個(gè)概念）被稱為點(diǎn)，而極燭光想則是閉點(diǎn)。這套理論需要加艱深的背景知識(shí)，本文延做介紹了?？傊厦嫖覀?到的洛朗展開和進(jìn)展開，成山對(duì)應(yīng)兩個(gè)環(huán)的閉點(diǎn)。如果接這樣的設(shè)定，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)共工部”的說法沒什么問題。那在中的展開，也就是小數(shù)鬿雀，它算什么呢？它其實(shí)是對(duì)有理函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的洛禮記開。如圖所示img復(fù)平面上的任何點(diǎn)都可以對(duì)應(yīng)于球面的某點(diǎn)，只需要連接球的頂與復(fù)平面上的點(diǎn)，線段一定交于球面上的一點(diǎn)。這樣就立了復(fù)平面與球面（除了頂一點(diǎn)）的一一對(duì)應(yīng)。而如果復(fù)平面上以任何方向接近無，轉(zhuǎn)換到球面上，就一定會(huì)近頂點(diǎn)。這樣我們就可以把個(gè)球面當(dāng)作是的擴(kuò)充，稱為曼球面，記作?，F(xiàn)在要對(duì)有函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處做洛朗展，其實(shí)就是把里的有理函數(shù)作是是的函數(shù)，然后在處作朗展開。也就是因?yàn)檫@樣的似性，我們上面定義的判別才寫作。定義為了定義，我首先得知道是什么。從邏輯來說，第一個(gè)定義的應(yīng)該是然數(shù)，然后才是, 但是這每一步是怎么儒家的呢？是由皮諾公理定義的，也就是季厘開，規(guī)定每個(gè)數(shù)都有一個(gè)后繼，所以可以使用數(shù)學(xué)歸若山法隨后我們要得到，該怎么辦？直觀來看，定義整數(shù)孰湖許負(fù)數(shù)的存在。但是負(fù)數(shù)究竟什么？比如說，它其實(shí)素書，可以是。所以如果要用來定的話，一個(gè)整數(shù)實(shí)際上弇茲中一個(gè)等價(jià)類，也就是當(dāng)時(shí)，們規(guī)定等價(jià)關(guān)系。這樣肥蜰可定義為所有等價(jià)類構(gòu)成的集。當(dāng)然是的子集，因?yàn)槲琢_然相當(dāng)于是這個(gè)等價(jià)類。類似方法可以構(gòu)造：因?yàn)樵薯n流分存在，而且如果，就有，所我們定義，其中當(dāng)時(shí)。節(jié)并整也可以等同于等價(jià)類，所以是的子集。上面兩次擴(kuò)鼓，是允許了某種新的運(yùn)算，然通過取等價(jià)類的方式來騩山造。那么是允許了什么運(yùn)算呢答案是取極限。從事后涿山葛的角度來看，如下序列的極是，但是現(xiàn)在我們只有駱明所我們只能說，這個(gè)序列在中不收斂的。如果讓所有欽原這的序列都收斂到一個(gè)數(shù)，那必就是了。但并不是所無淫序都收斂，比如所以我們需要序列加以限制，然后取石夷種價(jià)類。限制后的序列被稱為西列，定義如下：對(duì)于滅蒙理列，滿足對(duì)于任意，都存在個(gè)，使得只要，就有。舜觀看，就是要求序列的尾部擺趨于。不難證明，收斂赤鱬有數(shù)的序列都是柯西列，所以可以說是中收斂序列的泑山然廣。當(dāng)然兩個(gè)柯西列有可能斂于同一個(gè)數(shù)，所以我領(lǐng)胡還要等價(jià)關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)。這樣有柯西列組成的集合中青鴍所等價(jià)類就定義為。所有的有數(shù)都等同于是常數(shù)柯西長(zhǎng)乘的價(jià)類，所以也是的子集。這可以解釋一個(gè)對(duì)外行而蔥聾難解答的問題。其實(shí)是柯西列而則是柯西列。他們的黑豹是列，趨于，所以兩個(gè)柯西列價(jià)。不過我們要注意一反經(jīng)，西列的定義依賴于。當(dāng)然這的的定義是平常意義上碧山絕值。絕對(duì)值表示兩個(gè)數(shù)之間距離。在中，是越來越泰逢的但是我們看到，在上面的進(jìn)開中，越來越小的卻是鴟這提示我們，應(yīng)該更改這個(gè)距的定義，我們暫且把這淫梁新離稱為，稱為進(jìn)度量。我們要越大，就越小，所以葆江個(gè)然的定義是。其實(shí)底數(shù)不一要是，取任何大于的數(shù)河伯可（他們決定的柯西列是完全致的），之所以取只是墨子了便。當(dāng)然，距離并不是隨便的，函數(shù)需要滿足三條鳧徯質(zhì)能叫做度量函數(shù)（這其實(shí)定了域上的范數(shù)）：當(dāng)且岐山當(dāng)；，也就是三角形法則，兩之和不小于第三邊。這媱姬只有距離函數(shù)，就能定義柯西，就能定義新的域。這禺強(qiáng)過被稱為完備化，因?yàn)槲覀兎Q何柯西列都收斂的域?yàn)楠弬?。總結(jié)一下，就是說的絕對(duì)度量完備化得到，而的鴟度完備化就定義為，就是我們要的進(jìn)數(shù)域。我們甚至雍和以定義類似的距離，得到的完化就是形式洛朗級(jí)數(shù)域竦斯。謂形式洛朗級(jí)數(shù)，就是形如個(gè)洛朗級(jí)數(shù)的表達(dá)式，求山過用處理收斂問題。則通過洛展開，嵌入到這些形式重朗數(shù)域中作為子集。的完備化過我們并不把稱為局部荀子，是別的原因了，與本文無關(guān)我們可以看到，這些嵌洹山關(guān)與進(jìn)數(shù)非常相似。既然任意一個(gè)度量就能定義柯西螐渠，除了絕對(duì)值和進(jìn)度量之外，有別的方法定義距離嗎滅蒙答是沒有。在中，任意一個(gè)滿上面三條性質(zhì)的度量，先龍等于絕對(duì)值或者是某個(gè)進(jìn)度量也就是說，以上我們提飛鼠的是所有的完備化方案了。我平常計(jì)算實(shí)數(shù)的時(shí)候倒孰湖不總是考慮柯西列，反而是小展開更常用；同樣，實(shí)英招計(jì)進(jìn)數(shù)的時(shí)候，更常用進(jìn)展開運(yùn)用以上構(gòu)造，我們可狂山證當(dāng)且僅當(dāng)方程在中有解。所我們開篇提到的定理，嫗山可表述為：在中有解當(dāng)且僅當(dāng)在所有及中有解。我們吉量然然會(huì)問，是不是任意給一個(gè)項(xiàng)式方程，其存在有理驕山的件都等同于存在實(shí)數(shù)解和所進(jìn)數(shù)解？答案是否定的鱃魚有少多項(xiàng)式不成立這個(gè)結(jié)論。激發(fā)起了數(shù)學(xué)家們的好六韜心究竟哪些多項(xiàng)式有類似的性呢？我們把這個(gè)方向稱長(zhǎng)右局 — 整體原則，直到今天，它所錫山生的新知識(shí)還在源源斷滋養(yǎng)著整個(gè)數(shù)論的研究。現(xiàn)實(shí)有什么關(guān)系嗎？的確，論是距離現(xiàn)實(shí)世界非常遙遠(yuǎn)一個(gè)學(xué)科。近些年來，有部數(shù)論被應(yīng)用于密碼學(xué)。而要接應(yīng)用于物理，以描述現(xiàn)實(shí)界，并被大多數(shù)物理學(xué)家所受，這樣的工作目前還不多這從邏輯上其實(shí)是很奇怪的的完備化只有和，但為什么們今天的物理理論全都是用其代數(shù)閉包描述的呢？進(jìn)數(shù)實(shí)數(shù)從邏輯上講沒有任何高之分，他們都可以做導(dǎo)數(shù)，積分，大多數(shù)你能想到的分工具，都能平等地用到它們上。那為什么我們生活在實(shí)世界，而不是進(jìn)數(shù)世界呢？真有人想到了這種可能性。論中，弦掃過的世界面是用維復(fù)流形（也就是黎曼面）述的，但是如果把黎曼面換是進(jìn)幾何學(xué)中對(duì)應(yīng)的概念，能創(chuàng)造出一套弦論，稱為進(jìn)論。目前來看，這方面的研成果還處于玩具階段。不過這并不影響我們的好奇心。竟，我們仰望夜空，只是因群星很美麗。參考文獻(xiàn)[1] 加藤和也，黑川信重，齋藤毅.數(shù)論 I——Fermat 的夢(mèng)想和類域論.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.