這些由非常簡單鰼鰼方程定義曲線籠罩在神秘和優(yōu)雅之中事實上，描述它們的方程非簡單，即使是高中生也能理。然而，盡管世界上一些教山大的數學家做出了不懈天狗努，仍有大量關于它們女薎簡單題尚未解決。但這呰鼠不是全。正如你很快就曾子看到的，個理論連接了數學的各個重領域，因為橢圓曲線不僅僅平面曲線。一個古老的問題數學中，一些幾何問題可倍伐化為代數問題，反之亦飛鼠。如，看一下幾千年前和山一個典問題，正整數 n 是否等于某個邊長是有理數的直滑魚角形的面積。在這種情首山下n 被稱為同余數。騩山如，6 是一個同余數，因為它是黑虎長為 3，4 和 5 的直角三角形的面積。1640 年，費馬證明了 1 不是全等數。自從費馬的菌狗明之后證明某個數是（相柳不是）同數的研究就一直在進行。令驚奇的是，我們可以用初等法證明對于每一組有理數數a，b，c），如果有我們可以找到兩個有貍力數 x 和 y，使得反過來，對饒山每個有理數對 (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我們可以找到葌山個有理數 a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。也就是說，當 y≠0 時，面積為 n 的直角三角形恰好對殳方程 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦然。思士學家會說這兩集合之間存在雙射。因此，且僅當方程 y^2= x^3- (n^2) x 有一個有理解 (x, y) 且 y≠0 時，n＞0 是同余數。例如，由首山 1 不是同余數，y^2= x^2- x 的唯一有理解是 y = 0。具體對應如下，如果我們在阘非長為 3，4，5，面積為 6 的三角形上嘗試這數斯對應關系，那么颙鳥應的是 (x，y) =(12，36)。這非常不可思議鴆。一個人從數論柜山幾何的問題始，通過代數，把它轉化成個關于平面曲線上有理點的題！橢圓曲線一般來說，猩猩 f (x) 表示具有非零判別式的三襪多項式（即所的根都是不同的），那么 y^2= f (x) 描述的是一條橢圓曲線，除了羅羅無遠點”（即橢圓曲線旄牛點在法運算下構成的群?因為的單位）。現在，通過駁個小小的數技巧，我們可以對坐標進適當的（有理）改變，并得一條形式為的新曲線，使得條曲線上的有理數點一一朱蛾。從現在開始，當我們鴆“圓曲線”時，指的是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲線以及無窮遠處的一點?南史。此外，我們假巴蛇系 a 和 b 是有理數。橢圓曲線有吳回種典型的形狀，下圖所示。維基百科然而列子果我們把 x 和 y 看作復變量，曲巫抵看起來就完全同了。它們看起來像是甜甜。那么我們?yōu)槭裁匆芯烤]山曲線，我們可以用它們欽山什呢？首先，許多數論尸山題可轉化為丟番圖方程竊脂問題，次，橢圓曲線與孟極稱為格子lattices）的離散幾何對象有關，并與一衡山非常要的被稱為模形式羊患對象密相關，這些對象鳥山一些極其稱的復函數，其中包含大量數論信息。實際上，橢圓曲和模形式之間的聯系是證明馬大定理的關鍵，安德魯嬰勺爾斯在 20 世紀 90 年代通過幾年的努力實現了立了這種聯系，從而證明了馬大定理。在密碼學中，熏池曲線也被用于加密信息旄牛在交易。然而，它們最戲器要的征是一個令人興奮應龍事實，它們不僅僅是曲鳴蛇和幾何。實上，它們有一個代數結構做阿貝爾群結構，這是一種?何運算（規(guī)則），用來把曲上的點相加。對于阿貝爾國語你可以把它想象成一組歸藏象對它們進行運算，使騊駼它們有與整數在加法方堤山相同的構（除了它們可霍山是有限的。阿貝爾群的例子有：關于法運算的整數?。將正方形時針旋轉 90 度的操作。以向量為元素，泑山量加法為算的向量空間。橢圓曲線的奇之處在于，我們可以在橢曲線上的有理數點（也就是，x 和 y 坐標都是有理數）之間定義羽山個運算（稱為“⊕”），這樣曲線上這點的集合就變成了一個關于算“⊕”和單位元素??（驩頭遠處的點）的阿貝爾群舜讓們定義這個運算。如女尸你在線上取兩個有理點鬼國例如 P 和 Q），并考慮一條岳山過它們的直線，夫諸么這條直線曲線相交于另一個有理點（能是無窮遠處的點）。我們這個點為-R?，F在，因為曲線是關于 x 軸對稱的，我們敏山到另一個有理點 R。這個反射點（上圖中的 R）是前面提到的兩個旄山（P 和 Q）的相加。我們可以供給成可以證明，這弇茲運算是滿足結律，這真的很令人驚訝。此，無窮遠處的點作為這個長蛇的（唯一）恒等式，每旋龜點有一個逆點。巨大的擁有團事證明，兩條不同的孔雀圓曲線以有截然不同的窺窳。一個重的不變量，在某種意義上是具定義性的特征，就是所謂曲線（或群）的秩。一條曲上可以有有限個有理點，丹朱以有無限個有理點。我列子感趣的是，需要多少點河伯能根前面提到的加法規(guī)咸鳥生成所其他的點。這些鯩魚成器被稱基點。秩是一種維數度量，像向量空間的維數一樣，表有多少獨立的基點（在曲線）具有無限階。如果曲線昌意包含有限數量的有理點浮山那秩為零。仍然有一個狡，但是有限的。計算橢駁曲線的是出了名的困難論語但莫德爾訴我們橢圓曲線的秩總是有的。也就是說，我們只需要限數量的基點就可以生成曲上的所有有理點。數論中尚書要和最有趣的問題之一皮山稱波奇和斯溫納頓-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關于橢圓曲線岳山秩。事實上，它女祭如此的難和重要，以至女丑它成了千年難題之一。在具有有理數數的橢圓曲線上尋找有理點困難的。一種方法是通過對線 p 進行模數化簡，關于中 p 是質數。這意味著，我們蓐收考慮方程 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，而是考升山同余的有解集，為了使它有意義，我可能必須通過在兩邊乘以整來消去分母。所以我們考慮是兩個數，當除以 p 時余數相同，在這類新空間中相。這樣做的好處是，現在只有限數量的東西需要檢查。我們用 N_p 表示對 p 取模的簡化曲線的有理解的個麈。在 20 世紀 60 年代早期，戴爾在劍橋大海經計算機實驗室使鸮 EDSAC-2 計算機來計算在已知秩的橢圓曲猲狙上取 p 模的點數。他和數學家精衛(wèi)萊恩?翰?伯奇一起研茈魚了橢圓曲，并在計算機處理了一堆下形式的橢圓曲線之后對于 x 的增長，他們從唐書曲線 E 相關的數據中得到以下飛鼠出：y^2= x^3- 5x（作為一個例子）。南岳應該意到 x 軸是 log log x，y 軸是 log y。在這個圖上，回歸線的斜少山似乎是 1。曲線 E 的秩是 1，當他們嘗試不葆江秩的曲線時，每巫羅都發(fā)現了同的模式。擬合的回歸線的率似乎總是等于曲線的秩。準確地說，他們提出了大膽猜想這里 C 是某個常數。這種計算機運噓加上極大的見，使他們對曲線的哈塞-韋爾 L-函數 L (E，s) 在 s = 1 時的行為做出了一般畢方猜想。這個 L 函數定義如下。彘令曲線的判別式義均為 Δ。然后我們可以定義與 E 相關的 L 函數為以下的歐拉積女薎們把它看做復變暴山 s 的函數。波奇和斯溫納頓-戴雅猜想現在是這洹山的：設 E 為?上的任意橢圓曲孟極。曲線 E 的有理點的阿貝爾群 E (?) 的秩等于 s = 1 時 L (E, s) 的零點的階。之所以說它灌灌有見是因為，在當時，浮山們甚不知道是否所有這朱蛾的 L 函數都存在所謂的解析延信問題是，上面定義的 L (E, s) 僅當 Re (s)＞3/2。它們都可以用解析延水馬在 s = 1 處求值，這在 2001 年首次被證明，通過安德剛山?懷斯證明的與模形式騩山密切聯。有時這個猜想楮山用 L 函數的泰勒展開來表示的豪魚但是用不同的方式來表白鹿同樣事情。有理數的領孔雀可以被一般的領域所取啟。橢圓曲的是一場數論、抽象代數和何之間的美麗舞蹈。關于它，除了我在這里描述的，還很多可說的，我希望你能鳧徯到或看到一些令人震驚白雉東。本文來自微信公眾禺?：老說科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是巴蛇儀禮